2.2 矩阵的运算、定义一、矩阵的加法设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.例如2、 矩阵加法的运算规律记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵1、定义二、数与矩阵相乘2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.（设 为 矩阵， 为数）1、引例产品 一厂二厂三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘 单位 单位价格 利润总收入 总利润一厂二厂可见 c11=a11b11+a12b21+a13b31cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j2、定义并把此乘积记作C=AB设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中例设例2故解注意1 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.注意2：AB的行数=A的行数；AB的列数=B的列数练习：1、2、3、=( (）4、线性方程组记则有AX=b注意3 矩阵不满足交换律，例3 设则如前练习题1、2即一般地ABBA但也有例外，比如设则有此时称矩阵A、B可交换。注意4 矩阵不满足消去律，即：（1）若AB=AC，A0不能推出B=C（2）若AB=0不能推出A=0或B=0例4 设、矩阵乘法的运算规律（其中 为数）;若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即并且 注意:一般地 (AB)kAkBk定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .例、转置矩阵四、矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质证(4)：首先据矩阵乘法定义可见左右两边是同型阵；其次证明两边矩阵的对应元素相等。因为(AB)T位于第i行第j列的元素 =AB位于第j行第 i列的元素 =A位于第j 行的元素与B位于第i列对应元素的乘积之和 = BT位于第i行的元素与AT位于第j列对应元素的乘积之和=BTAT位于第i行第j列的元素例5 已知解法1解法22、方阵的行列式定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或运算性质记C=AB，构造一个2n阶行列式=(-1)n|C|(-1)n=|AB|3、对称阵与伴随矩阵定义设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.说明例6 设列矩阵 满足 证明例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵性质称为矩阵 的伴随矩阵.证明故同理可得五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律、消去律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算.注意（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算 不同.思考题成立的充要条件是什么?思考题解答答故 成立的充要条件为