第一节 微分方程的基本概念第二节 一阶微分方程第三节 可降阶的高阶微分方程第四节(*) 二阶常系数线性微分方程第一节 微分方程的概念 一.实例例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐标,求此曲线方程.设曲线方程为 y = y(x),则例2. 质量为m的物体自由落下, t =0 时,初始位移和初速度分别为 求物体的运动规律.则设运动方程为S=S(t),两次积分分别得出:条件代入:二. 概念 1. 微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例)未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章内容 2. 阶:未知函数的最高阶导数的阶数.例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.n阶方程一般形式:必须出现3. 解:如果将函数 y=y(x) 代入方程后恒等,则称其为方程的解.如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同通解 不含任意常数的解特解必须独立n阶方程通解一般形式:4. 定解条件:确定通解中任意常数值的条件.定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;定解条件中自变量取相同值时,叫做初始条件.5. 几何意义:通解积分曲线族特解积分曲线例:验证 是 的通解对 用隐函数求导法得:故 是方程的解, 且含有一个任意常数.通解第二节 一阶微分方程本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.一阶微分方程一般形式:我们研究其基本形式:如果可化成:(1)则(1)称为可分离变量的方程.解法: 1.分离变量:2.两边积分:3.得出通解:只写一个任意常数一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程例:任意常数,记为C绝对值号可省略定解条件代入:C=2故特解为:二.齐次方程的解法如果方程(1)可化成:齐次方程解法:令 化成可分离变量方程.例:三.一阶线性方程微分方程一般形式:(2)(3) 一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程自由项方程(3)是可分离变量方程,其通解为:方程(2)的通解常数变易法设(2)的通解:代入方程(2):则方程(2)的通解:(4)注:1. 一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4)计算皆可;. 2. 公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;3.非齐次方程的特解齐次方程的通解非齐次方程 解的结构例:例: 求方程 满足初始条件 的特解.将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程:由 得:故所求特解为:四.伯努利方程一般形式为:当 n= 0 或1时,这是线性方程.当 时,可以化成线性方程:两端同除以令则关于 z 的线性方程求出通解后再还原回 y的方程称为伯努利方程例:两端同除以令代入通解为五.全微分方程对于微分方程则通解为全微分方程注: (1).当P(x,y),Q(x,y)在单连域D内具有一阶连续偏导数,且时,上述方程为全微分方程.(2).(3). 对于非全微分方程,有时可以找到函数 , 使得全微分方程积分因子(4). 观察法往往很实用.例:因为全微分方程取解法一:解法二:例:非全微分方程由于则 是积分因子,同乘以积分因子并积分得通解:易知 也是积分因子 例:非全微分方程变形则 是积分因子,注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型例:视 x 为 y 函数,可化成线性方程通解为: