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柱坐标及球坐标下导热微分方程的 推导及分析哈尔滨工业大学市政学院摘要:运用热力学第一定律,建立温度场,利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题关键词:柱坐标 球坐标 导热微分方程1.柱坐标系下导热微分方程假定所研究的物体是各向同性的连续介质,其导热率 ,比热容 c 和密度 均为已知,并假设物体内具有内热源。用单位体积单位时间内所发出的热量 qv(w/m *3)表示内热源的强度。基于上述各项假定,再从进行导热过程的物体 中分割出一个微元体,如图。根据热力学第一定律,对微元体进行热平衡分析, 那么在 d 时间内导入和导出微元体的净热量,加上内热源的发热量,应等于 微元体热力学能的增加,即 导入与导出微元体的净热量()微元体内热源的发热量()微元体中 热力学能 的增加() 下面分别计算式中、 三项: 在 d 时间内,沿 r 轴方向:dzdrdqrrdzdrdrtddzdrdqrrtrdzddrdrtrrddrdrdddrrrrrdrr)( 1在 d 时间内,沿 轴方向: drdzdt rt rqdrdzdq11dzddrdt rddd)1( 2在 d 时间内,沿 z 轴方向:drdrdztztqdrdrdqzzzzdzddrdztrzzdzdzzzzzdzz)( 3将 r、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :I=+123在 d 时间内,微元体中内热源的发热量为 = dzdrrdrdqv在 d 时间内,微元体中热力学能的增量为=dzdrdrdtc联立 I,III,II 可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式:)()(1)(12zt zt rrtrrrrqtcv 2.球坐标系下导热微分方程在球坐标系中,从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。 在 d 时间内,沿 r 方向导入和导出微元体的净热量 :dddrdrtrrrdrrtqdddrqdrrrrrdrrrrr)sin(sin22 且1在 d 时间内,沿 方向导入和导出微元体的净热量 :dddrdtdt rqdzrdrdqdd)sin1(sin1 且2在 d 时间内,沿 方向导入和导出微元体的净热量 :dddrdtdt rqddrdrqdd)sin(1sin 且3将 r、三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :I=+123在 d 时间内,微元体中内热源的发热量为 = dddrdrqvsin2在 d 时间内,微元体中热力学能的增量为=dddrdrtcsin2 联立 I,II,III 可得导热微分方程在圆球坐标下的公式:)sin(sin1)(sin1)(12222 2 t rt rtrrrqtcv3.总结得出当分析同一个问题时,有多种不同的分析方法。使用不同的分析方法会使 我们分析问题的过程不一样,但是不会影响问题分析的结果。遇到不同的情况 就要选择不同的分析方法。就上述问题而言,当分析的对象是一般平面物体, 选择直角坐标系比较方便。但是当所分析的对象为轴对称物体(圆柱,圆筒或 圆球) ,采用柱坐标系或球坐标系更为方便。参考文献1.传热学(第六版) 章熙民 朱彤 中国建筑工业出版社工科数学分析 哈尔滨工业大学数学系分析教研室 高等教育出版社 2.
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