编号编号学学士士学学位位论论文文矩阵的秩的若干等价刻画矩阵的秩的若干等价刻画学生姓名 学 号 系 部 专 业 年 级 指导教师 完成日期 年 月 日学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS1摘要本文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变化、相抵标准型、向量、矩阵的等价及分解等各个角度来刻画矩阵的秩,进而用这些命题来证明与矩阵的秩有关的一些命题.关键词:矩阵;秩;等价刻画Several Equivalent Characterizations of Matrix RankAbstractFrom the Determinant, Linear Space, Linear Equations, Linear Transformation, Offset Standard, Vectors, Matrices, equivalence and decomposition of various angles to characterize the Rank of Matrix, and thus to prove these propositions and Rank of the Matrix relating to a number of propositions.Key Words：Matrix; Rank; Equivalent Characterization;学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS2目目 录录摘要 .1ABSTRACT .1引言 .21.预备知识 .31.1 矩阵的基本概念.31.2 矩阵秩的求法.51.3 矩阵的相关定理.62.矩阵的秩的等价描述 .73.关于秩的命题() .104.关于秩的命题() .125.应用 .20参考文献 .24致谢25学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS3引言矩阵的秩是线性代数的一个根本内容,它形容了矩阵的一个计算特征,也是矩阵的重要性质之一.在区分向量组的线性相关性,求矩阵的特征值,线性方程组有无解,在多项式,维数空间以及空间几何中等各个层次都有普遍的作用.之前高朝邦和祝宗山在论文1中写了矩阵的秩的等价描述的命题,并给出了相关的证明. 本文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变换、相抵标准型、向量、矩阵的等价及分解等各个角度来描写矩阵的秩的若干命题,并用这些命题来证实与矩阵的秩有关的一些命题.希望通过这些等价命题加深对线性代数的理解,对更好的掌握矩阵的秩的这一层次的理解起到帮助,使之在以后的数学学习中得到启发.1.预备知识1.1 矩阵的基本概念定义 1.1.12 数域中个数排列成的行列数表,记Pm n1,2,;1,2,LLijaim jnm n做111212122212nnmmmnaaa aaaAaaa L L LLLL L称为矩阵,还可以记成或等.m n ijm nam nA设是的一个矩阵,是一个的矩阵,将和的乘积 ijm sAams ijs nBbsnAB称为,其中 ijm nCABc1 1222 1sijijijissikkj kca ba ba ba bL1,2,;1,2,im jnLL负矩阵 令,则的负矩阵为. ijm nAaAijm nAa 学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS4矩阵减法 .ijijm nABABab 定义 1.1.23 设,数与矩阵的乘积被记为,根据向量的数乘运 ijm nAaAA算,显然有ijm nAa=注:矩阵的加法运算、数乘矩阵运算都称为矩阵的线性运算,它们与行列式的运算定义区别很大. 矩阵的线性运算满足下列八条运算律(设皆是同型矩阵,为数)., ,A B C O, (1)矩阵加法的交换律: ABBA(2)矩阵加法的结合律:ABCABC(3 右加零矩阵律: A OA(4)右加负矩阵律: AAO (5)1 乘矩阵律:1AA(6)数乘矩阵的结合律: =AA (7)矩阵对数加法的分配律:AAA(8)数对矩阵加法的分配律:ABAB定义 1.1.34 阶子式:设在中任意取行列交错处的元素,然后k ijm nAaAkk按原来相应位置组成的阶行列式,被称为的一个阶子式.1min , kkm nAk例 1.1 共有个二阶子式,并含有 4 个三阶子123-1 4562 10-1-1A 22 344 33182C C 式,矩阵的第一、三行,第二、四列交错处的元素所形成的二阶子式为A,而为的一个三阶子式.因而,矩阵总共有个22-1 0-1D 3123456101D AmnAkk mnC C阶子式. k定义 1.1.45 令有 阶子式不为,任意阶子式(若存在的话)全 ijm nAar01r 学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS5为,则 被称为矩阵的秩,可记成或或秩.0rA R A rank A A规定:零矩阵的秩为.0注意:(1)例如,则中至少有一个 阶子式,全部阶子式等 R ArAr0rD 1r 于,且更高阶子式均为,那么 是中不等于零的子式的最高阶数. 0 0rA(2). TR AR A(3). , R Aminmn(4)若且,则.反之,如,则因此,是n nA0A R An R Am0A R An方阵可逆的充要条件.A(5) 矩阵行向量的秩被称为矩阵的行秩; 矩阵列向量的秩被称为矩阵的列秩.(6)向量组的线性极大无关组中所具有向量的个数被称为这个向量组的秩.1.2 矩阵秩的求法1.2.1 子式判别法(定义)例 1.2 设阶梯形的矩阵,求.1234 0270 0000B R B解 由于,存在一个二阶子式不等于,然而任何三阶子式都等于,112002B 00则. 2R B 结论:阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数.例如,1230 0101 0010A 12 01 00B 110 010 001C 125 034 000D .2123 0815 0007 0000E 学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS6 3,2,R3,2,3R AR BCR DR E一般地,行阶梯形矩阵的秩就是其“非零行的行数”也被称为“台阶数”.例 1.3 设,如果,求11 11 11 a Aa a 3R A a解 . 3R A Q2a1111 =210 11Aaaa a或.1a2a 1.2.2 用初等变换法求矩阵的秩定理 16 矩阵初等变换不变更矩阵的秩,即则AB R AR B注 1)只变更此行列式的符号.ijrr2)是中对应行（或列）的倍.ikrAk3)是将行列式的某一行（列）的全部元素的倍加到另一行（列）的ijrkrk相对应元素上.1.2.3 求矩阵的秩方法 A1)矩阵可利用初等行变换化为阶梯形矩阵.AB2)阶梯形矩阵非零行的行数被称为矩阵的秩.BA例 1.4 求.1024 213-6 -1-1-12A R A2121024102-4102-4 213-601-1201-12 -1-1-120-11-20000 rrA 2R A 学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS71.3 矩阵的相关定理(1) Binet-Cauchy 定理7 设和分别为和矩阵,如果,则有ABn mm nnm,11211212|12 LLL LLnniimnniiiABABiiin其中表示的第行和第列所决定的子式.1212 L LnnAiiiA1,2,Ln12, ,Lni ii(2)Laplace 定理8 若为阶方阵,对任意选定的行,则有Ank12, ,Lki ii1111212112121212|( 1)LLLLLLLLkknkkiijjjjnkkniiiiiinAAMjjjjjjiii其中表示的余子式.1212 L LkkiiiMjjj1212 L LkkiiiAjjj(3)维数定理9 3121212dimdim dimdim(d)imIWWWWWWW2.矩阵的秩的等价描述设,那么的非零子式的最高阶数被称为矩阵的秩,用表示,以m nAFA rA R A下是矩阵秩的等价描写的一组命题1.设,则,m nAF r Ar中不为零子式的最大阶数是 ;Ar中有一个 阶子式不等于零,所有阶子式都等于零;Ar+1r中有一个 阶子式不等于零,所有阶子式都等于零;Ar+1r等价于;A0 00rE 学学 士士 学学 位位 论论 文文BACHELOR S THESIS8存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使得mPnQ0 00rEPAQ的行向量组的极大线性无关组所含的向量个数是 个;Ar的列向量组的极大线性无关组所含的向量个数是 个;Ar是的行空间的维数; rA是的列空间的维数; rA方程组含有 个独立的方程,剩下的方程是这些方程的线性组合; 0AX r