把握数学本质使数学教学更有效 两则案例带给我们的启示小学教学编辑部 殷现宾yinxianbin126.com1 1从“数学味”谈起n数学课应该有数学味，你同意吗？n问题：1. 为什么要有数学味？（Why）2. 数学味指的是什么？（What）3. 怎样的课才算是有数学味？（评价 ） 怎样才能使数学课有数学味？（策略 ） （How）2 2两则案例3 3案例一 ：“坑坑洼洼的怎么补啊？”（把握学科本质是一切教学法的根2007.08）情境一：王奶奶家门前有一块形状如图的地，如何求这块地的面积呢?n意图：通过引导得出方法，渗透“转化” 思想 。n生：这是一块地，您怎么移动、怎么“补”啊?n师：这不是真的地，我们现在是在做数学题。n该学生不再“找茬”。 4 4案例一情境二：李奶奶家门前也有一块地，是这个形状，怎么求它的面积呢?n教师的意图是将该“地”近似看成平行四边形，从而引出本课内容。n该生：老师，这块“地”坑坑洼洼的，您怎么 补啊?n师：不是说了吗，这不是真的地，我们是在 做“数学题”。5 5n类似例子： 地球自转：“坐地日行八万 里”1667km/h rou（即绕着中心快速地转圈）n问题：这两个“傻”问题的实质是什么？n第一次：这是一块地，怎么移动、怎么“补”啊?学生没有弄清“什么是数学” “什么是运用数学解决实际问题”。（横向数学化）6 6n第二次：“地” 的边界是“坑坑洼洼的”， 用哪个“凸”补哪个“凹”呢? 朴素而又深刻: 求面积，用面积单 位铺面积单位个数m2大，换 成dm2；不规则图形 “面积” 问题积分近似整体思想；精确积分思想n这个案例给我们的启示是什么？7 7启 示1. 弄清学生问题的实质。价值判断决策（机制）。例：投影屏 幕与电脑的体积注意：越是简单朴素的问题往往越蕴涵着 数学本质的思想方法。2. 提高自身的数学素养，增强判断力。3. 追问：什么是“数学化”？研读作为教 育任务的数学（弗赖登塔尔著）“积分思想”到底指什么？高等数 学8 8案例二：减法的初步认识1. 创设情境，生发现信息并提出问题：n停车场原来有5辆小汽车，开走了2辆，还剩 几辆？n（学生顺利列出算式）2. 要求：利用学具，自己动手创造一个用减 法解决的问题，并列式解决。【亲历减法意义的感知过程，并板书各种算式 ，为后续观察、比较、总结作准备】9 93. 交流汇报： n女孩：“我本来拿了5个小水果，送给同桌2个 ，我还剩几个水果？我列的算式是5-2=3。” n男孩：“怎么还是5-2=3啊？重复了！”n女孩辩解：“没重复，这次不是汽车，是水果。 ” n男孩：“反正也是5-2=3，还说不重复？” n大部分学生同意男孩的看法，但也觉得女孩说 得有道理，辩论不出结果。【对这样的“冲突”，你会怎么处理？】1010n师：“你能再想一件事情，也用5-2=3来表示吗？”n孩子们编出很多情境，如教室有5个小朋友 草地上有5朵小花有5支铅笔n刚发完言的一个学生：“这样的事情我还能说 好多呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本 领真大呀！”【这样处理是不是很好？该结束了吧？】1111n师（捅破“窗户纸”）：有的事情发生在停车场 里，有的事情发生在教室里。为什么完全不一 样的事，却能用同一个算式来表示呢？n学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个 算式所表示的意思都是一样的。n教师趁热打铁，又问：“3+6=9可以表示的事 情多不多？那就一个数8都可以表示什么？”n学生脱口而出：“那太多了！”n教师又问：“你现在有什么想法？”n生：“我觉得数和算式都太神奇了，能表示那 么多不同的事物！”1212启 示1. 设计有过程的教学。经历、体验经验。减法意义的感知。2. 提出好的问题。（张齐华：半径有无数条吗？你能用一个数对表示一排吗？） 3. 该出手时就出手。（决策：忽略；肯定或否定；延伸）（1）“重复了，咱就不写了。”（2）“你能再想一件事情”（更多例证） “有的事情发生在停车场里，有的” （抽 象）n怎样出手？不仅取决于教育观念，更取决于教 师的数学素养。（要不要出定义、法则？）n追问：数学素养包括哪些方面？数学本质？1313“好（有价值）的问题”的标准1、具有较强的探索性。（力所能及）2、具有一定的启示意义。（有利于学生掌 握相关的数学知识和思想方法）3、具有多种解法甚至多种答案。4、具有一定的发展余地。5、具有一定的现实意义或与实际生活相联 系。6、有利于合作学习。7、问题的表述应简单易懂。1414什么是数学的本质？n什么是“数学味”？n怎样的课才算是有数学味？n怎样使数学课有数学味？ 体现数学的特点，突出数学的本质n数学的特点：高度的抽象性（减法）严密的逻辑性（算理）应用的广泛性1515n课标：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。n问题情境建立模型解释、应用与拓展（数学：模式的科学）（数学化）n修订版课标：数学是研究现实世界中数量关系和空间形式（量性特征）的科学。1616资料：碳排放权交易n 2008年9月，（慈溪风电场 ）首期33台风能发电机组全部并网发电，年发电量约亿千瓦时，可供2万至3万户居民家庭用电 一年能“腾”出9万吨二氧化碳减排指标。按目前国际市场上每吨“指标”约10美元计算，慈溪风电场每年的指标可换90万美元，约600万元人民币。1717数学学科的本质是指n数学基本概念n数学思想方法n数学特有的思维方式n数学美n数学精神1818（一）对数学基本概念的理解n小学的基本概念主要有： 十进位值制、单位(份)、用字母表示数、四则运算； 位置、变换、平面图形； 统计观念。n“理解”是指了解：1. 为什么要学习这一概念？其现实原型是什么？2.这一概念特有的数学内涵是什么？3.以此概念为核心能否构建一个“概念网络图”？1919n数学定义数学概念。（经历过程，感知、体验）n经历不同认知过程，才能达到不同理解水平：模仿与辨别事实性水平；归纳与抽象概念性水平；综合与应用方法性水平；猜想与创造主体性水平。n例：1.牛献礼教学要挠到学生的“痒”处 （ 小学教学数学版 2010.04）2.张齐华确定位置（字母表示数）2020（二）对数学思想方法的把握n小学阶段的重要思想方法：分类思想、转化(化归)思想、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。n如何落实在学习数学概念和解决问题中。n化归：物理学家和数学家的对话n二年级“逻辑”一课2121（三）对数学特有的思维方式的感悟n主要有：比较、类比、抽象、概括、猜想、 验证。其中“抽象”是数学思维方式的核心。（ 郑毓信走进数学思维2008.5-11）n数学是思维的体操，是开启智慧的钥匙。（四）对数学美的鉴赏n 有助于培养学生对待数学学习的积极态度。 n 数学的基本原则：求真、求简、求美。n 数学美是指：简洁、对称、奇异。其中对 称”是数学美的核心。（三角形内角和；e-2i=1）2222（五）对数学精神的追求n理性精神(如对公理化思想”的信奉)探究精神(好奇心为基础，对理性的不懈追求)它们是支撑数学家研究数学进而研究世界的动力，也是学生学习数学、研究世界最永恒 、最有效的动力。 n三角形内角和：测量、剪拼、折叠证明n“欧氏几何”罗巴切夫斯基几何黎曼几何n勾股定理费尔马大定理（1637年提出）（英籍数学家怀尔斯1995年证得。历时300年）n四色定理：1852提出，1976年用计算机证得。n哥德巴赫猜想和角谷猜想（2009.11）2323三、怎样把握数学本质？（一）有关策略1.主动进修。 （提高自身专业素养）（1） 专门进修。学习数学专业课程。（2） 业余进修。如：数学专业书籍，报刊 。2. 做中学。（积累经验）（1）向学生学习。把握（研究）学生的问 题和错误的本质。2424（2）在追问把握本质。（要有长时间思考 一个问题的习惯）（开放，不放过有价值 的问题。如，这些问题你会解答吗？ ）（3） 与大师对话。（刘加霞小学数学课 堂的有效教学书；张奠宙小学数学研 究书；郑毓信数学思维与小学数学 书；张齐华平均数（2009.05）与 吴正宪平均数n 与张奠宙先生的讨论：1（0.9） 2（分 数）2525（二）案例n1.“循环小数” 2008.11n2.电话号码与数（贲友林）2009.10期n3.两个数与三个数的最小公倍数 （数 学教师亟需丰富内涵 2007.01）n4.点点统计图 （一节统计课留给我们 的思考2007.04）n5.烦人的“端点”2626n6.朱乐平：要求长方形面积，必须知道 长和宽吗“充分条件”2006.01 ；练习课，原来还可以这样上 2009.09n7.数学美：唐彩斌数学原来可以那么美2008.7-8 ；蒋明玉数形结合 探究规律2008.03 ；二进制与计算机（2008.02）角谷猜想（数学黑洞）2009.11；歌德巴赫 猜想；无理数第一次数学危机；九宫 图（2008.7-8，9）、四色定理2727n8.运算定律与归纳法不完全归纳法和数学归纳法，递归。n9.综合与应用：“打电话问题” n10.专家（刘加霞）评课：“100以内数的认识”2009.09；“百数表”2009.10；2828总 结n创设好的情境（数学问题）（骄傲的“9”）n提出有价值的问题n设计有过程的教学（在过程中体验、感悟）n把握（研究）学生的问题和错误的本质n该出手时就出手n在追问中把握本质（养成长时间思考一个问题 的习惯，如0.999=1？）n提高自身的数学素养（治本之策）2929写作时应注意：1、尽可能围绕一个（小）问题来写，将其说 清楚、讲透彻。2、对案例做出针对性的分析，不能两张皮。 对于问题，一般应提出对策。3、不求写得很长（一般10004000字） ，而是求深度。4、文体不限，尽可能“万变”（先叙后议、先 议后叙、夹叙夹议等）。 3030投稿时应注意：1、有针对性地投稿。如针对杂志，小学教 学杂志喜欢案例与反思类的文章；也可针 对栏目投稿，如“讨论吧”。2、时间性强（如涉及教学进度）的文章。一 般提前34个月投稿。3、注意反思和交流。与同事、有经验的作者 、编辑等交流。4、千万不要同时一稿多投。 （一般3个月后 未接到通知或未见发表可另投）3131n（450004）郑州市顺河路 11号小学教学编辑部 殷现宾n电 话：0371-66370590nE-mail：yinxianbin126.comn欢迎投稿和订阅（语文版36-37，数学版36-307）323233333434353536362010.1话题：数学课堂是否应该关注 非数学问题（2009.09）n“有余数除法” 课上的一道题：“我们班50名同学去划船，一条船只能坐9人 ，那么我们需要租几条船？”n学生列式：509=5（条）5（人）n剩下的5人要不要再租1条船？学生争论不休：n生1：不应该再租1条船，那样太浪费了，每条 船再多坐1人就行了。n（许多学生表示赞同）3737n生2：老师，现在什么运输工具不超载呀？不超 载哪能挣钱？n生3：我爸是司机，他开的是载重5吨的车子， 每次都装近10吨的货，一次事故都没有发生过 。n生4：（笑嘻嘻地）老师，有一次我过河赶集， 船上已经很挤了，我看到你还是硬挤上去了。 不是也顺利过河了吗？n（全班学生哄堂大笑）n您在课堂上遇到过这样的情况吗？对于这样的非数学问题，您认为该怎么处理？ 【返回 】3838循环小数（2008.11）n它决不是从“从前有座山”得来的。这位老师 ：让做题最慢和最快的两生比赛，分别做38 和5012。