Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University第七章1Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University 7-1 立体及其表面上的点与线 7-2 平面与立体表面相交 7-3 两立体表面相交 本章作业立体及其表面交线的投影 Projection of Solids and Their Intersection2Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University7-1 立体及其表面上的点与线立体是由表面围成的封闭空间。可分为两类：表面都是由平面围成的平面立体； 表面是由曲面或曲面与平面围成的曲面立体。立体的投影 就是构成该立体的所有表面（或所有顶 点、棱线）的投影总和。3Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University棱柱常 见 的 基 本 立 体平 面 基 本 体曲 面 基 本 体Primitives基本立体是构成复杂立体的基础棱锥圆锥圆环圆球圆柱回转体4Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University在图示摆放位置，棱柱的两 底面为水平面，其俯视图中反映 实形。前后侧棱面是正平面，其 余四个侧棱面是铅垂面，侧棱面 的水平投影都积聚，并与底面的 边重合。点的可见性判别：若点所在平面的投影可 见，点的投影亦可见；若点 所在平面的投影积聚，点的 投影亦可见。由于棱柱的表面都是平 面，所以在棱柱的表面上取 点与在平面上取点的方法相 同。棱柱的三面投影 棱柱表面取点aaa(b)b b棱柱由两个底面和若干侧棱面组成。侧 棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线 相互平行。1.棱柱一. 平面立体由若干平面所围成的几何体。5Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University在图示摆放位置，其底 面ABC是水平面，在俯视 图上反映实形。侧棱面 SAC是侧垂面，另两个侧 棱面SBC和SAB是一般位 置平面。( )s s 2.棱锥棱锥的三面投影 棱锥表面取点kkkb abca(c)bs nn棱锥由一个底面和若干侧棱面组 成。所有侧棱线交于锥顶。采用平面内取点、线的方 法。nABCSac6Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University圆柱面的水平投影积聚成一 个圆，而在另外两个投影上分 别是用两个方向的轮廓转向线 （素线）的投影表示。V、W投 影的轮廓转向线是不同素线的 投影。二.回转体 (曲面基本立体) 1.圆柱体圆柱体的三面投影 轮廓转向线(素线)的投影分 析与圆柱面的可见性判别圆柱面上取点圆柱体由圆柱面和两个底面围成。而圆柱面是由一直线 （AA1 ）绕与它平行的轴线（OO1旋）转形成。 直线AA1称为母线； 圆柱面上任一位置的母线称为圆柱面的素线。A1AOO1aaa利用投影 的积聚性1(2)121234343(4)7Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong UniversityO O1 投影分析：圆柱面在W上的 投影有积聚性，利用投影的 积聚性 c 1. 标记特殊点A、B、C的投影；3. 求各点的侧面投影；4. 判别可见性；并光滑连接。A B c a c a b a b b 圆柱面上取线作图步骤：2. 求各点的水平投影；8Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University几种柱面体的投影 正圆柱 斜圆柱 正椭圆柱 斜椭圆柱 9Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University转向轮廓线线的投影与曲面的可见性的判断s在图示摆放位置，H面投影 为一圆。V面和W面为等腰三 角形，底边为圆锥底面的投影 ，两腰是圆锥面上不同方向的 转向轮廓线的投影。 三个投影均没有积聚性。O1Os2.圆锥体圆锥体的三面投影 圆锥表面取点k辅助素线法辅助纬圆法(n)snkkN圆锥体是由圆锥面和底面构成。圆锥面是由直母线 （SA）绕与它相交的轴线（OO1 ）旋转而成。 交点S称为锥顶； 母线上的任意点（N）的轨迹为圆。SA如何在圆锥面 上作直线？过锥顶作一 条素线。圆的半径？(n)bbbdd母线与轴交叉会得到什么立体？ 10Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University几种锥面体的投影 正圆锥 斜圆锥 正椭圆锥 斜椭圆锥 11Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University三个视图分别是三 个和圆球直径相等的圆， 但分别是圆球表面三个方 向的转向轮廓线的投影。 三个投影均没有积聚性。3.圆球圆球是由圆母线以其直径为轴 旋转而成。圆球的三面投影 转向轮廓线的投影与曲面 可见性的判断圆球表面取点k辅助圆法kk圆的半径？12Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University在图示摆放位置，俯视图 是最大和最小纬圆的投影圆， 主、左视图的直线段分别是圆 母线上的最高点和最低点旋转 形成的投影；各投影都是相应 方向的转向轮廓线的投影。 三个投影均没有积聚性。 主、左视图的投影轮廓内是圆 环表面的四个层次的重叠。4.圆环圆环是由圆母线绕其面上不过 圆心的轴旋转而成。圆球的三面投影 转向轮廓线的投影与曲面 可见性的判断圆环表面取点辅助纬圆法圆环的半径？a(a)(a)13Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University按图示轴线垂直的位置摆 放，俯视图是最大和最小纬圆 的投影圆；各投影都是相应方 向的转向轮廓线的投影。投影均没有积聚性。5.组合回转体母线是由直线段、圆弧 或其它曲线组成，母线绕 其中心的轴旋转而成。是 基本回转体的组合。组 合 回 转 体 的 投 影转向轮廓线的投影与曲面 可见性的判断回转体表面取点辅助纬圆法(辅助素线法不适用 ) 14Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University7-2 平面与立体表面相交可分为：与平面立体表面的截交线；与曲面立体(回转体)表面的截交线。截平面截交线截交线平面与立体相交，截去体的一部分截切； 用于截切立体的平面截平面； 截平面与立体表面的交线截交线； 由截交线围成的平面图形断面。断面15Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University是由平面折线线或平面曲线线所围成 的封闭闭轮廓； 截交线线的几何形状取决于立体的几 何形状以及截平面与立体的相对对位 置；截交线线的投影形状还取决于截平 面与投影面的相对对位置。截交线线是截平面与立体表面的共 有线线,具有共有性；截交线的性质 16Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University 求截交线的方法：求各棱线与截平面的交点棱线法。 求各棱面与截平面的交线棱面法。 求截交线的步骤：截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置确定截交 线的几何形状确定截交线 的投影特性 空间及投影分析 画出截交线的投影充分利用积聚性和面上取点线的方法，分别求 出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。平面多边形的每条边是截平面与棱面的交线。 平面立体的截交线是由直线段围成的封闭平面多边形。一. 平面立体表面的截交线17Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University截交线的实际形状？截平面与立体 的几个棱面相 交？投影分析例：求被截切后四棱锥的H和W面投影。 空间分析求截交线 采用棱线法 分析棱线的投影检查 注意截交线投影的类似性 32 1(4)1 2 4 3 1 24 3 截交线的投影 形状？18Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University例：求截切后四棱锥被的H和W面投影。 整理以后的结果19Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状回转体形状截平面与回转 体轴线的相对位置。 求截交线的方法：素线法、纬圆法求截平面与回转体表面的共有点。 利用截平面或回转体表面的积聚性。二. 回转体的截交线曲面立体的截交线通常是一条封闭的 平面曲线，也可能是由截平面上的曲线和 直线所围成的平面图形或多边形。20Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University 画截交线的投影2.判别截交线的可见性，然后将各点的同名投影 依次光滑地连接起来。1.找出截交线上的特殊点，对于投影为非圆曲线 应适当补充截交线上的一般点。 求截交线的步骤： 空间及投影分析 分析回转体的形状及截平面与回 转体轴线的相对位置。 分析截平面与投影面的相对位 置以及积聚性、类似性。确定截交 线的几何形状确定截交线 的投影特性由截交线的已知投影，求解未知投影。21Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University3. 圆柱体的截交线圆柱体截交线的形状取决于截平面与圆柱体 轴线的位置关系。垂直,圆平行,两平行直线倾斜,椭圆22Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University例：求侧面投影。平行截交和垂直截交；截平面都垂直于V面；圆 柱水平投影积聚；截交线的形状和投影特点。作图步骤整理W面投影。立体被多个平面截切，需逐个截平面进行分析和作图。空间分析基本体投影； 找出特殊点；扩展讨论 如果在圆柱上打一同 心圆柱孔，三面投影 会成为什么样？23Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University例：求侧面投影。 整理以后的结果24Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University例：求侧面投影。 25Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University整理以后的结果例：求侧面投影。 26Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University对比分析转向轮廓线无转向轮廓线类似形27Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University例：求水平投影。 28Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University例：求水平投影。 整理以后的结果29Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University例：求水平投影。 30Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University整理以后的结果例：求水平投影。31Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University对比分析类似形类似形无线无线无线32Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University例：求侧面投影。整理以后的结果33Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University截交线形状直径面 轴夹角；截交线的投影 形状受截平面与投影面 之间的交角影响。什么情况下 投影为圆呢 ？ 45 截平面与圆柱轴 线成45时。34Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University例：求侧