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3.2 古典概型1. 掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个 ,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都 是随机事件.它们出现的机会是相等的,所以“正面 朝上”和“反面朝上”的可能性都是 2. 掷一颗骰子,观察出现的点数,这个试 验的基本事件空间=1,2,3,4,5,6. 由于骰子的构造是均匀的,因此出现这6种 结果的机会是相等的,即每种结果的概率 都是3. 一先一后掷两枚硬币,观察正反面出 现的情况,这个试验的基本事件空间是 =(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).它有四个基本事件,因为每枚硬币出现 正面与出现反面的机会是相等的,所以这 四个事件的出现是等可能的,每个基本事 件出现的可能性都是古典概型的概念 (1)一次试验中,所有可能出现的基本 事件只有有限个; (2)每个基本事件发生的可能性相等。我们将具有这两个特点的概率模型称 为古典概率模型,简称古典概型。并不是所有的试验都是古典概型。例如 ,在适宜的条件下“种下一粒种子观察它 是否发芽”,这个试验的基本事件空间为 发芽,不发芽,而“发芽”与“不发芽”这 两种结果出现的机会一般是不均等的。又如,从规格直径为3000.6mm的一批 合格产品中任意抽一根,测量其直径d, 测量值可能是从299.4300.6之间的任何一 个值,所有可能的结果有无限多个。这两个试验都不属于古典概型。例1. (1)向一个圆面内随机地投一个点 ,如果该点落在圆内任意一点都是等可能 的,你认为这是古典概型吗?为什么? (2)如图所示,射击运动员向一靶心进 行射击,这一试验的结果只有有限个:命中1环、命中2环、命中10环和命中0环(即不命中)。你认为这是古典概型吗?为什么?解:(1)试验的所有可能结果是圆面内的 所有点。试验的所有可能结果数是无限的 。 因此,尽管每一个试验结果出现的“可能 性相同”,但是这个试验不是古典概型。 (2)试验的所有可能结果只有11个,但是 命中10环、命中9环、命中1环和命中0 环(即不命中)的出现不是等可能的。 这 个试验也不是古典概型。一般地,对于古典概型,如果试验的 n个基本事件为A1,A2,An,由 于基本事件是两两互斥的,则有互斥事 件的概率加法公式得又因为每个基本事件的发生的可能性是 相等的,即所以如果随机事件A包含的基本事件数为m ,同样的,由互斥事件的概率加法公式可 得所以在古典概型中事件A包含的基本事件数 试验的基本事件总数 P(A)= 例2. 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求 掷得奇数点的概率。解:这个试验的基本事件共有6个,即(出 现1点)、(出现2点)、(出现6点),所以 基本事件数n=6, 事件A=(掷得奇数点)=(出现1点,出现3点 ,出现5点),其包含的基本事件数m=3所以,P(A)= =0.5例3. 从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的 三件产品中,每次任取一件,每次取出后 不放回,连续取两次,求取出的两件产品 中恰有一件次品的概率。解:每次取出一个,取后不放回地连续取两 次,其一切可能的结果组成的基本事件有6 个,即(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2, b1),(b1,a1),(b1,a2)。其中小括号内左边 的字母表示第1次取出的产品,右边的字母 表示第2次取出的产品.用A表示“取出的两种中,恰好有一件次 品”这一事件,则A=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).事件A由4个基本事件组成,因而,P(A)=例4. 在例3中,把“每次取出后不放回”这 一条件换成“每次取出后放回”其余不变, 求取出两件中恰好有一件次品的概率。解:有放回地连续取出两件,其一切可能 的结果组成的基本事件空间 =(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2, a1),(a2,a2) ,(a2,b1),(b1,a1),(b1, a2),(b1,b1)由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的。用B表示“恰好有一件次品”这一事件,则B=(a1,b1), (a2,b1),(b1,a1),(b2,a2). 事件B由4个基本事件组成,因此P(B)=例5. 甲、乙两人作出拳游戏(锤子、剪刀、 布),求:(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)乙赢的概率.解:甲有3种不同点出拳方法,每一种出发 是等可能的,乙同样有等可能的3种不同点 出拳方法。一次出拳游戏有9种不同的结果,可以 认为这9种结果是等可能的。所以基本事 件的总数是9.平局的含义是两人出法 相同,如图中的三个 ;甲赢的事件为甲出锥 ,乙出剪等,也是三种 情况,如图中的 ;同样乙赢的情况是图中的三个 。按照古典概率的计算公式,设平局的事件为A;甲赢的事件为B,乙赢的事件为C,则P(A)=P(B)=P(C)=例6. 抛掷一红、一篮两颗骰子,求(1)点数之和出现7点的概率;(2)出现两个4点的概率;解:用数对(x,y)来表示掷出的结果,其中 x是红骰子掷出的点数,y是蓝骰子掷出的 点数,所以基本事件空间是S=(x,y)| xN, yN, 1x6, 1y6.事件的总数为36.1 2 3 4 5 6第一次抛掷后向上的点数7 8 9 10 11 12 6 7 8 9 10 11 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 76 5 4 3 2 1第二次抛掷后向上的点数(1)记“点数之和出 现7点”的事件为A,从图中可以看出事 件A包括的基本事 件有6个. 即(6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6).所以P(A)=(2)记“出现两个4点”的事件为B,则从图中看出,事件B包括的基本事 件只有1个,即(4,4)。所以P(B)=拓展: (3)两数之和是3的倍数的概率是多 少?(4)两数之和不低于10的的概率是多少?例7. 每个人的基因都有两份,一份来自父 亲,另一份来自母亲。同样地,他的父亲 、母亲的基因也有两份,在生殖的过程中 ,父亲和母亲各自随机地提供一份基因给 他们的后代。以褐色颜色的眼睛为例,每个人都有一 份基因显示他的眼睛颜色:(1)眼睛为褐色;(2)眼睛不为褐色。如果孩子得到的父母的基因都为“眼睛 为褐色”的基因,则孩子的眼睛也为褐色 ;如果孩子得到的父母的基因都为“眼睛 不为褐色”的基因,则孩子的眼睛也不为 褐色(是说明颜色,取决于其它的基因); 如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐 色”,另一份为“眼睛不为褐色”,则孩子 的眼睛不会出现两种可能,而只会出现 眼睛为褐色的情况,生物学家把“眼睛为 褐色”的基因叫做显性基因。为了方便起见,我们用字母B代表“眼睛 为褐色”这个显性基因,用b代表“眼睛不为 褐色”这个基因。每个人都有两份基因,控 制一个人的眼睛颜色的基因有BB,Bb, bB,bb。注意在这4种基因中,只有bb基 因显示为眼睛不为褐色。假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都 为Bb,则孩子眼睛不为褐色的概率有多 大?BbBbBBBbbBbbBbBb解:由于父亲、母亲控 制眼睛颜色的基因都是 Bb,从而孩子有可能产 生的基因有4种,即BB ,Bb,bB,bb. 又因为父亲或母亲提供给孩子基因B或b的 概率是一样的,所以可以认为孩子的基因 是这4种中的任何一种的可能性是一样的 。因此这时一个古典概型问题,只有当孩 子的基因为bb时,眼睛才不为褐色,所以 孩子眼睛不为褐色的概率为1.某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐 篷。如果下雨与不下雨是等可能的,能否 准时收到帐篷也是等可能的。只要帐篷如 期运到,他们就不会淋雨,则下列说法中 ,正确的是( ) A 一定不会淋雨 B 淋雨机会为3/4 C 淋雨机会为1/2 D 淋雨机会为1/4 E 必然要淋雨D课堂练习2.一年按365天算,2名同学在同一天过生 日的概为_ 3.一个密码箱的密码由5位数字组成,五个 数字都可任意设定为09中的任意一个 数字,假设某人已经设定了五位密码。(1)若此人忘了密码的所有数字,则他一 次就能把锁打开的概率为_(2)若此人只记得密码的前4位数字,则一 次就能把锁打开的概率_ 1 3651 101 100004、一个口袋内装有20个白球和10个红球,从中任意取出一球。求:(1)取出的球是黑球的概率;(2)取出的球是红球的概率;(3)取出的球是白球或红球的概率; 0113(1)从中任意取出两球,求取出是白球、红球的概率。(2)先后各取一球,求取出是白球、红球的概率。5、一个口袋内装有白球、红球、黑球、 黄球大小相同的四个小球,求:6、用三种不同的颜色给图中的3个矩形随 机涂色,每个矩形只能涂一种颜色,求: (1)3个矩形的颜色都相同的概率; (2)3个矩形的颜色都不同的概率.解 : 本题的等可能基本事件共有27个(1)同一颜色的事件记为A,P(A)=3/27 =1/9;(2)不同颜色的事件记为B,P(B)=6/27 =2/9.7、一个各面都涂有色彩的正方体,被锯锯 成1000个同样大小的小正方体,将这些正 方体混合后,从中任取一个小正方体,求 : (1)有一面涂有色彩的概率; (2)有两面涂有色彩的概率; (3)有三面涂有色彩的概率.解:在1000个小正方体中,一面图图有色 彩的有826个,两面图图有色彩的有812个,三面图有色彩的有8个,一面图图有色彩的概率为为 两面涂有色彩的概率为为有三面涂有色彩的概率 8、现有一批产品共有10件,其中8件正品,2件次品.(1)如果从中取出1件,然后放回再任取1件,求两件都是正品的概率? (2)如果从中一次取2件,求两件都是正品的概率?82/102=0.6487 109 = 28 459、甲,乙两人做掷骰子游戏,两人各掷一 次,谁掷得的点数多谁就获胜.求甲获胜的 概率.10、甲、乙、丙、丁四人做相互传球练 习,第1次甲传给其他三人中的1人,第2 次由拿球者再传给其他三人中的1人,这 样一共传了4次,则第4次球仍然传回到 甲的概率是多少?5 127 27
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