电磁场数值计算电磁场数值计算实验指导书（不太全供参考）实验指导书（不太全供参考） 目录 1 有限差分法1 2 矩量法6 3 有限单元法9 4 附录10 1 有限差分法 有限差分法(Finite Differential Method)是基于差分原理的一种数值计算法.其基本思想:将场 域离散为许多小网格,应用差分原理,将求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点 上的差分方程组的问题. 二维泊松方程的差分格式 图 1-1 有限差分的网格分割 二维静电场边值问题: (1-1) (1-2) 通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为,节点上的电位分别用和表示. 设函数在处可微,则沿方向在处的泰勒公式展开为 (1-3) 将和分别代入式(1-3),得(1-4) (1-5) 由(1-4)-(1-5)得(1-6) (1-4)+(1-5)得(1-7) 同理 (1-8) (1-9) 将式(1-7)、(1-9)代入式(1-1),得到泊松方程的五点差分格式 当场域中得到拉普拉斯方程的五点差分格式 1.2 边界条件的离散化处理 图 1-2 边界条件的离散化处理 若场域离散为矩形网格(如图 2-2 示),差分格式为: (1-10) (1)第一类边界条件:给边界离散节点直接赋已知电位值 (2)对称边界条件:合理减小计算场域,差分格式为: (1-11) 图 1-3 边界条件的离散化处理 (3)第二类边界条件:边界线与网格线相重合的差分格式: (1-12) (4)介质分界面衔接条件 的差分格式 (1-13) 其中 1.3 差分方程组的求解方法 (1) 高斯赛德尔迭代法 (1-14) 式中:( 迭代顺序可按先行后列,或先列后行进行. ( 迭代过程遇到边界节点时,代入边界值或边界差分 格式,直到所有节点电位满足为止. (2)超松弛迭代法 (1-15) 式中:加速收敛因子 迭代收敛的速度与有明显关系 表 1-1 迭代收敛的速度与的关系 收敛因子() 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.90 2.0 迭代次数() 1000 269 174 143 122 133 171 发散 最佳收敛因子的经验公式: (正方形场域、正方形网格) (矩形场域、正方形网格) ( 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关 ( 迭代收敛的速度与工程精度要求有关 借助计算机进行计算时,其程序框图 1-5 所示 图 1-5 迭代解程序框图 练习题 试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布 已知: 给定边值 如图 1-6 示 给定初值 误差范围 选取 计算:迭代次数 N=? 分布.图 1-6 接地金属槽的网格剖分 (2) 按对称场差分格式求解电位的分布 已知: 给定边值:如图 1-7 示 给定初值 误差范围: 图 1-7 接地金属槽内半场域的网格剖分 计算:1)迭代次数,将计算结果保存到文件中; 2)按电位差画出槽中等位线分布图.(选做,可以不做) 2 矩量法 矩量法(method of moment)在电磁场分析中有着广泛的应用.其概念相当简单,基本上是用未 知场的积分方程去计算给定媒质中场的分布. 在静电学中,在由点的电荷分布在点产生的电位分布可以表示为 (2-1) 这里实质上是电位分布的源,是点和点间的距离.然而一般情况下是未知的,而源区电位的分 布是给定的.因此,为了求出空间每个地方的电位分布,我们必须估计源区的电荷分布. 设的一个解是 (2-2) 这里是源区一些离散位置上预先选定的电荷分布,是待定未知系数,以式(2-2)代入式(2-1)得 (2-3)(2-4) 这里.所以考虑在位置的电荷,可以表示为下述电位的线性组合,即: (2-5) 所以 (2-6) 由于在源区是已知的,所以未知系数可以由 (2-7) 确定,或表示成矩阵形式 (2-8) 求出后,利用式(2-2),就可以确定源区的电荷分布.接着就可以用式(2-3)预测空间任意点的电 位分布. 例 2-1 一个长 20cm,半径 1mm 的细圆柱保持 1V 的电位,用矩量法计算沿着导体的电荷分布. 解图 2-1 给出了导体的几何尺寸.由对称性,此问题能简化为一个二维问题.设想电荷集中在 轴对称线上,即密度为的线电荷.如图 2-2 所示. 图 2-1 导体几何结构 图 2-2 导体二维模型 如图 2-3 所示,把导体化分为两个单元,并设想 单位线电荷都集中在单元中心,即,. 距离,和为 图 2-3 两单元导体模型 在计算中,还假设每单元的线电荷在对应单元内保持不变.现在能用式(2-6)计算为 把所有的已知量代入式(2-8)得出 从上式求出 , 以及对应的电荷密度 ,. 图 2-4 点的电位 现用矩量法得到的电位表达式和电荷分布来计算在导体的中点和表面的电位.如图 2-4 所示, 在点上的电位 (2-9) 解出导体表面的电位. 计算得出的电位为外加电位的,这清楚的表明计算得到的电荷分布是不精确的.用一种等效电 荷分布去模拟导体,两个单元是不够的.如果把导体数增加到 50 个,计算结果为.按照式(2-9)计 算出的电位为. 练习题 为例 2-1 编写计算机程序,计算各段的电荷分布,在程序中考虑单元数为 2,4,10,20 的情况,讨 论单元数对电位的影响. 计算各处的电位分布,比较 x 轴上各点的电位与单元数的关系. 各计算结果保存到文件中. 注意: 求解矩阵的程序去图书馆响应的数值计算书中查找. 3 有限单元法 有限单元法(finite-element method)最早是由结构工程师应用于计算桥梁、船舶的应力和应变.它 属于系统位能的泛函近似极小化方法.这里我们不对它进行详细的分析.附录中给出了利用有 限单元法编写的软件 SEF2D 的使用. 练习题图 3-1 给出了由两个平行无限长导线组成的闭合传输线,利用 SEF2D 计算此结构中的电位分 布. 图 3-1 传输线附图 附录 SEF2D 使用简介 使用 SEF2D2.0 分析二维静电场共有四个步骤,如下所示: 场域结构输入 介质区域剖分 有限元计算 4. 后处理图形显示 一、场域结构的输入 本软件场域结构的输入方法是灵活多样的,可由鼠标和键盘双向输入.鼠标的右键控制着输入 的状态,单击鼠标右键可以切换图形的输入和选择状态.鼠标的左键控制着图形的特征点的选 择和输入以及对选择框的操作. 场域结构的输入共有五个步骤: 第一步:输入场域结构的模型 图 1 第二步:多连域结构化为单连域结构 图 2 注意:SEF2D 2.0 的特殊要求:一个区域的边界不能有重复的线段,区域与 SEF2D 1.0 不同. 第三步:输入第一类边界和节点电压值 图 3 第四步:选择区域并输入相对介电常数 图 4 第五步:输入完成 第一步 输入场域结构的模型 1 输入图形 输入线段 用鼠标左键单击“线段“按钮,会弹出一“画线段“对话框.当需要用键盘输入时,在对话框内输入 两个端点的坐标并按下回车键即可.也可以移动鼠标到相应端点坐标用左键单击,再移动鼠标 到另一端点处单击即可. 1.2 输入矩形 用鼠标左键单击“矩形“按钮,会弹出一“画矩形“对话框.当需要用键盘输入时,在对话框内输入 矩形两个对顶点的坐标并按下回车键即可.也可以移动鼠标到相应端点坐标用左键单击,再移 动鼠标到另一端点处单击即可. 输入圆 用鼠标左键单击“圆“按钮,会弹出一“画圆形“对话框.当需要用键盘输入时,在对话框内输入圆 心和圆周上任意一点的坐标并按下回车键即可.也可以移动鼠标到圆心坐标用左键单击,再移 动鼠标到圆周上一点坐标处单击即可. 输入圆弧 用鼠标画圆弧时,也可以移动鼠标到圆弧一端点用左键单击,再移动鼠标到圆弧另一端点处单 击,最后在圆心处单击即可. 用键盘画圆弧时,左键单击“圆弧“按钮,会弹出一“画圆弧“对话框.在对话框内输入圆弧两个端 点的坐标,圆心坐标和圆心的相对位置并按下回车键即可. 注意:圆弧的方向与圆弧的起点和终点的输入顺序有关系,如图.以下两图除起点与终点坐标 相反外其它输入都相同,这样画出的两个圆弧恰好是互补的. 图 5 图 6 输入线圈 用鼠标左键单击“线圈“按钮,会弹出一“线圈“对话框.用键盘输入时,在对话框内输入线圈顶点 的坐标,内部高度、宽度,上下圆角的半径,线饼厚度,同类线圈数,线圈间距离,并按下回车键即可. 图 72. 修改图形 当需要修改图形时,首先要选中一个图形.如果现在图形输入环境没有处于选择图形状态,单 击鼠标右键即可.再次单击鼠标右键取消图形选择状态. 选择图形有两种方法,用鼠标拉出一个选择框将要选的图形包含于内或者用鼠标左键单击要 选的图形上的任意一点.处于被选中状态的图形变成虚线状态,并且有小矩形画出的可选择点.如 下图: 图 82.1 修改线段 确定“图形移动状态“按钮没有被按下,线段被选中状态下,首先选择要改动的线段端点.用鼠 标左键单击要选择的端点,若端点被选中,则代表这一点的小矩形变为红色,否则就是没有选 中.移动鼠标到合适的点再单击鼠标左键即完成修改. 2.2 修改矩形 确定“图形移动状态“按钮没有被按下,矩形被选中状态下,首先选择要改动的矩形端点.用鼠 标左键单击要选择的端点,若端点被选中,则代表这一点的小矩形变为红色,否则就是没有选 中.移动鼠标到合适的点再单击鼠标左键即完成修改. 2.3 修改圆 确定“图形移动状态“按钮没有被按下,圆被选中状态下,首先选择要圆周上的可选择点.用鼠 标左键单击选择点,若点被选中,则代表这一点的小矩形变为红色,否则就是没有选中.移动鼠 标到合适的点再单击鼠标左键即完成修改. 2.4 修改圆弧 确定“图形移动状态“按钮没有被按下,圆弧被选中状态下,首先选择要改动的端点.用鼠标左 键单击要选择的端点,若端点被选中,则代表这一点的小矩形变为红色,否则就是没有选中.移 动鼠标到合适的点再单击鼠标左键即完成修改.圆弧可修改端点位置和半径,如下图. 图 9 图 10 3 移动图形 当需要移动图形时,首先要选中一个图形.如果现在图形输入环境没有处于选择图形状态,单 击鼠标右键即可.选择图形有两种方法,用鼠标拉出一个选择框将要选的图形包含于内或者用 鼠标左键单击要选的图形上的任意一点.处于被选中状态的图形变成虚线状态,并且有小矩形 画出的可选择点.确定“图形移动状态“按钮已经被按下,用鼠标左键单击要选择的端点,若端 点被选中,则代表这一点的小矩形变为红色,否则就是没有选中.移动鼠标到合适的点再单击 鼠标左键即完成移动.可一次移动多个图形. 图 11 4 复制图形 当需要复制图形时,首先要选中图形.如果现在图形输入环境没有处于选择图形状态,单击鼠 标右键即可.选择图形有两种方法,用鼠标拉出一个选择框将要选的图形包含于内或者用鼠标 左键单击要选的图形上的任意一点.处于被选中状态的图形变成虚线状态,并且有小矩形画出 的可选择点.按下“复制“按钮,即可完成复制.被复制的图形仍处于原位置,也就是说此时有两 个相同的图重叠在一起.复制的图形处于被选择状态,可以在这时将被复制的图形移动到合适 的位置. 图 12 5. 删除图形 首先选中要删除的图形,在按下 delete 键即可. 第二步 多连域结构化为单连域结构 多连域化为单连域的目的是为了加快计算速度和避免计算错误.通过增加一些线段使多连域分割为单连域.这一步的操作方法与第一步的对线段的操作方法是相同的. 第三步 输入第一类边界和节点电压值 1 .改正输入错误 在进入第三步时,如果弹出一对话框警告“有不连通节点,请改正“,(黑色实心的节点为不连通 节点).这是说明在第一步输入时有输入错误,通常情况时两条应该相连的曲线没有正确的连 接上.按两次“上一步“按钮回到第一步改正错误,直到不出现该警告为止. 警告:如果不改正该错误在第四步时会出现无法选中区域的后果. 2 选中第一类边界 选中第一类边界的方法是,移动鼠标到第一类边界边上,按下鼠标左键,若这条边界的颜色变 为蓝色,则这条边界被确定为第一类边界边.若颜色仍然为黑色,则这条边界没有被确定为第