第三章 倒格子与布里渊区1目 录3.1 引入倒格子的意义3.2 倒格子的定义3.3 倒格子的性质3.4 布里渊区3.5 晶体的 X 射线衍射23.1 引入倒格子的物理意义描述固体的周期性结构中的微观粒子的物理行为可以利用二种 类型的格子。一种是正格子，即，布拉菲格子，是周期性结构在坐标空间的 描述；另一种是倒格子，它是周期性结构在波矢空间(k空间)的描述。由坐标空间变换到波矢空间更有利于表达周期性结构中微粒的 物理行为的特征。在本课程后续内容中有很多例子，如： 晶体X射线衍射，晶体原子振动，晶体中电子能量。初学倒格子概念比较抽象和困难，但倒格子概念是深入学习固 体物理学的不能缺少的必要工具。3设，布拉菲格子基矢为 a1,a2,a3，将由矢量决定的格子，称为正格子，将满足下述关系：的 b1, b2, b3 ，定义为倒格子基矢，将由决定的格子，称为Rl的倒格子。3.2 倒格子的定义3.2.1 倒格子定义之一4根据以上定义，每个倒格子基矢必与两个正格子基矢正交， 显然，倒格子基矢，也即倒格 矢的量纲是 长度-1，与 波矢的量纲一致。3.2 倒格子的定义3.2.2 倒格子定义之二如：？应有：由此，可以直接定义倒格子基矢为：且有：5采用波函数定义倒格子设有以 a1,a2,a3为基矢的布拉菲格子并有平面波 。定义，具有给定布拉菲格子周期性的那些平面波，其波矢 Kh 所 代表点的集合称为 Rl 的倒格子。其数学表达为 ，如有对于任何 r 和 Rl 成立，那么 Kh 决定的格子就是布拉菲格子 Rl 的 倒格子。3.2 倒格子的定义3.2.3 倒格子定义之三6其中 b1,b2,b3由 确定，则以上条件成立。验证：可以验证，当波矢Kh取为倒格子定义之三验证由以上定义，要求 Kh满足，3.2 倒格子的定义这是因为，73.3 倒格子的性质3.3.1 倒格子原胞体积 *与正格子原胞体积 的关系可以证明，分解，83.3.2 倒格子的倒格子是原布拉菲格子按倒格子基矢定义构造基矢 c1, c2, c3，可以证明 ci = ai，i = 1,2,3。Rl，Kh所代表点的集合都 是布拉菲格子，且互为 正倒格子。事实上在 中 Rl，Kh地位全同。3.3 倒格子的性质93.3.3 晶体中物理量的傅里叶变换关系设，晶体任一 r 处有物理量 (r)，由晶格的周期性，应有 (r) = (r+Rl)，Rl为任意正格矢，周期性函数可作傅里叶级数展开如下：即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系；正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间；正格子和倒格子互为傅氏变换。F (Kh)是物理量 (r) 在傅氏 空间的表示形式3.3 倒格子的性质100a1a3a23.3.4 倒格矢 与正格子中晶面系 (h1h2h3) 正交因为已知，晶面系 (h1h2h3) 中最靠近原点的晶面 ABC 在基矢a1, a2, a3上的截距分别为 a1/h1, a2/h2, a3/h3，如下图，Gh1h2h3 为 晶面 ABC 的法线，a2/h2a1/h1a3/h3CBAGh1h2h33.3 倒格子的性质113.3.5 倒格矢 的长度是晶面系 (h1h2h3) 面间距的 2 倍0a1a3a2CBAa1/h1a3/h3a2/h2Gh1h2h33.3 倒格子的性质123.4 布里渊区3.4.1 布里渊区定义定义：在倒格子中，以某一格点为坐标原点，作所有倒格矢的垂 直平分面，倒格子空间被这些平面分成许多包围原点的多面 体区域，这些区域称为布里渊区。第一布里渊区：最靠近原点的平 面所围的区域。第二布里渊区：第一布里渊区界 面与次远垂直平分面所围的 区域。第三布里渊区示意。第 n 个布里渊区是从原点出发， 跨过 (n-1) 个垂直平分面达 到的所有点的集合。133.4.2 布里渊区界面方程令，Kh为倒格矢，如下图，A为Kh的垂直平分面k为倒空间的矢量则，A上所有点都应满足k0Khk证明：由图可见，3.4 布里渊区A144、布里渊区的形状完全由晶体布拉菲格子决定(倒格矢由正格 矢定义)，所以不管晶体的基元代表什么，只要布拉菲格子相同 ，布里渊区形状就相同。5、简约布里渊区-第一布里渊区3.4.3 布里渊区性质1、各布里渊区的形状都关于原点对 称。2、各布里渊区都可通过平移倒格矢 到达第一布里渊区，且与之完全重合 。3、每个布里渊区的体积都相等，且 等于倒格子原胞体积。3.4 布里渊区G153.4.4 面心立方(FCC)的第一布里渊区可见 FCC倒格子是一个边长为 4/a的BCC格子。倒格子原点最近邻有八个格点。 所以FCC晶格第一布里渊区是一个截顶十四面体。3.4 布里渊区163.4.5 体心立方(BCC)的第一布里渊区可见 BCC 倒格子是一个边长为4/a 的FCC格子。倒格子原点最近邻有十二个格点。 所以BCC晶格第一布里渊区是一个正十二面体。3.4 布里渊区173.5 晶体的X射线衍射引言X射线衍射是研究晶体结构的最重要的手段之一。本小节讨论X射线衍射，主要是作为倒格子的应用，特别是布里渊区的应用的例子。我们将证明，布里渊区边界是满足晶体衍射极大条件的点的集合。以后我们还会看到，布里渊区边界的意义，如：在周期 场中传播的波，除了X射线波以外，还有晶体中电子波、晶格振动波等，都在布里渊区边界上发生相长干涉。183.5.1 布拉格 (Bragg) 定律布拉格首先 (1933年) 给出了晶体产生X射线衍射的极大条件。他 认为：(a) 视晶体的原子平面，晶面为镜面，(b) X射线被平行的原子面 (晶面) 做镜面反射，(c) 间距为 d 的一系列平行晶面产生的X射线发生相长干涉，晶面间距 d反射角 入射角 入射波波长 3.5 晶体的X射线衍射19入射角 入射波波长 反射角 d sind sin由图可以得到，反射线和入射线的光程差为 2dsin，根据光学衍射理论，发生相长干涉的条件为2dsin = n， n为整数上式即为晶体衍射的布拉格定律。 布拉格将面间距为 d 的平行晶面运用为 间隔为 d 的光栅， 成功解释了晶体的 x 射线衍射现象。3.5 晶体的X射线衍射3.5.1 布拉格(Bragg)定律20布拉格定律只是晶体结构的周期性特征的结果，不涉及不反映基元中 所包含的具体内容。即，布拉菲格子相同，布拉格衍射结果相同。 布拉格衍射与晶面间距 d 和 有关，常见晶体 d 在纳米(nm)量级。 因 sin 1，故只当 2d nm 时，才能发生晶体布拉格衍射。X 射线波长，如：CuK = 0.154 nm，因此，适合晶体衍射。可见光波长在 390-770 nm，因此。不可能在晶体中发生衍射。入射角 入射波波长 反射角 布拉格定律2dsin = nn为整数3.5 晶体的X射线衍射3.5.1 布拉格(Bragg)定律213.5.2 劳厄(Laue)方程劳厄认为晶体 X 射线衍射是晶体中具有平移周期性的格点上，各 原胞中对应原子对 X 射线弹性散射的相长干涉结果。k = 2/n 入射波矢 和波长 kk = 2/n 散射波矢 和波长 k相距为 d 的二个原胞中的对应原子d3.5 晶体的X射线衍射注意，这二个原子是晶体中任意二个具有晶格平移周期性的格点 上的二个原胞中的对应原子。n 入射波矢单位矢量n 散射波矢单单位矢量22计算在相距 d 的二个等价原子(散射体)上，其入射波和散射 波的光程差。等价原子距离矢量 d 3.5 晶体的X射线衍射3.5.2 劳厄(Laue)方程由图可得入射波和散射波光程差为，k = 2/n，入射波矢和波长k = 2/n，散射波矢和波长nn23因为弹性散射，所以 = 。 由此得到，光程差满足相长干涉，产生衍射极大的条件：3.5 晶体的X射线衍射3.5.2 劳厄(Laue)方程k = 2/n，散射波矢和波长k = 2/n，入射波矢和波长 等价原子距离矢量 d nn24k = 2/nk = 2/n对于三维晶体，任何格点中的对应 原子的相对距离都可用晶格平 移周期矢量 Rl 来表示。所以相长干涉衍射极大条件的 一般表达式应为：对于所有布拉菲格矢 Rl 都成立，因此，k - k 必为 Rl 的倒格矢 Kh。X射线波矢的改变等于倒格矢，则相长干涉，出现衍射极大。3.5 晶体的X射线衍射3.5.2 劳厄(Laue)方程d Rl由此，得出晶体 X 射线衍射极大的劳厄方程253.5.3 劳厄方程和布里渊区边界方程根据劳厄方程即，布里渊区边界方程。其物理意义：当入射波波矢 k 落在晶体布里渊区边界上时，产 生相长干涉。3.5 晶体的X射线衍射26由劳厄方程作矢量关系图。根据倒格矢与晶面的关系，已知：P3.5.4 劳厄方程和布拉格定律的一致性kk-kKh(2) 当 Kh 方向最短倒格矢的长度记作 Kh0，应有 Kh0=2/d，因为 Kh = nKh0，所以应有，3.5 晶体的X射线衍射(1)倒格矢 Kh 代表了一个晶面系的法向，即，图中垂直于 Kh 的平面P，令其晶面间距为 d。27结论：X射线波矢改变为倒格矢 Kh 的劳厄衍射极大条件，完全 等价于垂直于倒格矢 Kh 的正格子晶面的布拉格反射衍射极大条件。布拉格定律是晶体衍射极大条件在正空间的描述。劳厄方程是晶体衍射极大条件在倒空间的描述。3.5 晶体的X射线衍射3.5.4 劳厄方程和布拉格定律的一致性283.5.5 厄瓦尔构图晶体衍射劳厄方程的反射球表示。 取一倒格点为原点，以原点为矢端作 k0 (入射波波矢)，以 k0未 端为球心，k0为半径作球面。Ok1k2k3k0kGk0=2 /因为 k = k0 = 2/，所以， 从球面上任何倒格点向球 心作矢量 k 都满足劳厄方 程k0 k = G因此，落在反射球面上的倒 格点到球心的矢量，均为 在给定入射波 k0下，晶体 产生衍射极大的方向。3.5 晶体的X射线衍射293.5.6 X射线衍射实验方法通常由于晶体倒格点离散分布，对于给定 k0 (给定入射方向 和入射波长)，在所作反射球面上很少有倒格点存在。 因此，晶体产生衍射极大的可能也很少。(1) 劳厄法单晶试样，固定不动-倒 格子确定不变。连续波长X射线-反射球 半径连续改变。二个球面之间所有的倒格 点都满足劳厄方向，产 生衍射极大。O k1k2k3kmaxG2 /min2 /maxkmin3.5 晶体的X射线衍射30(2) 转晶法单色X射线-反射球只有一个，球面确定。单晶试样绕一轴转动-倒格子绕轴转动，每个倒格点划圆，凡与 反射球面相交的点的方向都是发生衍射极大方向。O k1k2k3k0kG3.5 晶体的X射线衍射3.5.6 X射线衍射实验方法31O k1k2k3(3) 粉末法单色X射线-反射球只有一个，球面确定。粉末试样-试样中单晶体在整个立体角内转动，每个倒格点都画 球面，凡与反射球相交的园上所有点的方向都是衍射极大方向 。3.5 晶体的X射线衍射3.5.6 X射线衍射实验方法32