一、 Chebyshev不等式若随机变量X 的数学期望和方差分别为 那么对任意的正数0 , 必有Chebyshevf(x)-e+ex可见2 越小，事件的概率越接近1X的值密集在其数学期望附近的概率越大由此可见方差刻画了随机变量取值的离散程度此结论也说明了方差是描述随机变量取值与其数学期望分散程度的一个量。 此不等式不但是大数定律的理论基础，而且对落在有限区间上的概率估算也有重要意义。若随机变量X 的数学期望和方差分别为 那么对任意的正数0 , 必有例1 一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，试估计解：以Xi表示第 i 次的点数(i=1,2,3,4)，则Xi 的分布律为Xi123456 P1/61/61/61/61/61/6例1 一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，试估计解：以Xi表示第 i 次的点数(i=1,2,3,4)，有由于故且Xi 相互独立例1 一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，试估计解：以Xi表示第 i 次的点数(i=1,2,3,4)，则有由Chebyshev不等式得例2 一电网有1万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为0.7.求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。解 设X 为同时开的灯数,则由此可得由Chebyshev不等式可得二、大数定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科，而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性.例如，在概率的统计定义中，曾提到一件事发生的频率具有即事件发生的频率趋于事件发生的概率，其中所指的是：试验的次数无限增大时，事件发生的频率在某种收敛意义下逼近某一定数(事件发生的概率)，最早的大数定理.当这就是一般的大数定理讨论个随机变量的平均值的稳定二、大数定理一般的大数定理讨论 n 个随机变量的平均值的稳定性.大数定理对上述情况从理论的高度进行了论证本节先介绍基本的大数定理，然后， 再介绍另一类基本的中心极限定理.大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大量抛掷硬币 正面出现频率字母使用频率生产过程中的 废品率 还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。二、 大数定律在实践中， 不仅事件发生的频率具有稳定性，稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。这种由于大数定律的作用， 大量随机因素的总体作用必然 导致某种不依赖于个别随机事件的结果。存在，则对任意的 0，有设随机变量序列独立同分布，定理5.1 独立同分布序列的Chebyshev大数定律与其数学期望偏差很小的概率接近于1. Chebyshev大数定律表明，独立随机变量序列Xn，当即当n充分大时，差不多不再是随机的了.且p是事件A 发生的概率，则对任给的 0，或设nA 是n 重Bernoulli试验中事件A 发生的 次数，定理5.2 Bernoulli大数定律事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p 有较大偏Bernoulli大数定律表明， 当重复试验次数n充分大时，差的概率很小.Bernoulli大数定律提供了通过试验来确定事件概率此定理以严格的数学形式描述了概率的稳定性.的方法.二、 De Moivre-Laplace中心极限定理 一 、独立同分布序列的中心极限定理中心极限定理中心极限定理的客观背景:的综合影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多 随机因素的影响.在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生在任一给定时刻,一个 城市的耗电量是大量单 独的耗电者需用电量的 总和.在一个蓄水池中的储水 量可以看作是极大数量的 单独供水池的供水量的总 和.在一个物理实验中的测量误差是由许多不可能 观察到的,而可看作是可加的小误差所组成.前面我们的讨论中讲过正态分布在随机变量的一 切可能分布中占有特殊地位。在客观世界中，我们遇 到的许多随机现象都是服从或近似服从正态分布的， 为什么大量的随机变量都服从正态分布？俄国数学家李亚普诺夫()证明了 在某些非常一般的充分条件下，独立随机变量的和的 分布，当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分 布的。在概率论中，把大量独立的随机变量和的分布以 正态分布为极限的这一类定理统称为中心极限定理。设随机变量X1,X2,Xn,相互独立同分布，且 E(Xi)=，D(Xi)=2 (2 0)(i=1,2,)，记随机变量1、独立同分布的中心极限定理(Lindeberg- Levy)则Yn的分布函数Fn(x)对任意的x(-,+)都有 该定理说明， YnN(0,1)中心极限定理可以解释如下：如果多个相互独立的随机变量相加, 不管它们是离散 的还是连续的或者是任何类型的, 只要它们大小相差并 不悬殊，每个随机变量对于总和的作用都很微小, 则加 起来以后得到的随机变量, 就近似服从正态分布。在实际工作中，只要n足够大，便可把独立同分布的 随机变量之和当作正态变量。 例1 一盒同型号螺丝钉共有 100 个, 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率.解设为第个螺丝钉的重量,且 Xi 之间独立同分布,于是一盒螺丝钉的重量为由此例1 一盒同型号螺丝钉共有 100 个, 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率.解一盒螺丝钉的重量为由中心极限定理有例2粮仓内老鼠的数目服从泊松分布, 且仓内无鼠的概率求200个仓内老鼠总数超过350只的概率解:设第i个粮仓内老鼠数目为Xi ，则独立且同分布， 由解得故2、 De Moivre-Laplace定理在n重Bernoulli试验中，每次试验中事件A发生的 概率为p(0p1)，记Zn为n次试验中事件A发生的次数 ，则对任意实数x，有其中q=1-p此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布。当n充分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算。第五章大数定律与中心极限定理对于一列二项分布对于一列二项分布r.vr.v ，有，有近似近似近似近似于是当于是当充分大时，可以认为充分大时，可以认为近似近似的图形为的图形为例3 报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报的概率为0.2,且他们是否买报是相互独立的。求报童向100位行人兜售之后，卖掉1530份报纸的概率。解 设报童卖掉报纸的份数为X,由中心极限定理知，例4 某市保险公司开办一年人身保险业务,被保险人每年需交付保险费 160 元,若一年内发生重大人身事故,其本人或家属可获 2 万元赔金.已知该市人员一年 发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险,问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在 20 万到 40万元之间的概率是多少?解解 记5000 个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数为X，则由中心极限定理可知，例4 某市保险公司开办一年人身保险业务,被保险人每年需交付保险费 160 元,若一年内发生重大人身事故,其本人或家属可获 2 万元赔金.已知该市人员一年发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险,问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在 20 万到 40万元之间的概率是多少?解一年内公司的总收益为：所求概率为第五章大数定律与中心极限定理Ox -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8记记则则近似近似共共1515层小钉层小钉小球碰第小球碰第 层钉后向右落下层钉后向右落下小球碰第小球碰第 层钉后向左落下层钉后向左落下高尔顿高尔顿( Francis ( Francis Galton,1822-Galton,1822- 1911) 1911) 英国人类学英国人类学 家和气象学家家和气象学家