6.4 相对论理论的四维形式 1在相对论中时间和空间不可分割 ，当参考系改变时，时空坐标互 相变换，三维空间和一维时间构 成一个统一体四维时空。2四维时空理论可用简洁的四维形式表述出来。利用这种形式可以很 清楚地显示出一些物理量之间的内在联 系，并且可以把相对性原理用非常明显 的形式表达出来。3先回顾一下三维空间的转动性质。先看二维平面上的坐标系 转动。设坐标系相对于 坐标系转了一个角 。设 平面上一点的坐标在系为 x,y; 在系x,y为。新旧 坐标之间有变换关系x=xcos+ysin , y=-xsin+ycos.OP2=x2+y2= x2+ y2=不变量1. 三维空间的正交变换4满足此式的二维平面上的线性变换称为 正交变换。坐标系转动属于正交变换。OP2=x2+y2= x2+ y2=不变量正交变换5设为平面上任意矢量。在系中的分量为x ,y;起彼伏 在系中的分量为x ,y 。这些分量有变换关系,矢量长度平方为x =xcos+ ysin, y= - xsin + ycos.| |2= 2x + 2y= 2x +2y =不变量任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式6现在讨论三维坐标转动。设系的直 角坐标为(x1,x2,x3), 系的直角坐标为 (x1,x2,x3) 。三维坐标线性变换一般 具有形式x1=a11 x1+a12 x2 +a13 x3, x2=a21 x1+a22 x2 +a23 x3, x3=a31 x1+a32 x2 +a33 x3.7坐标系转动时距离保持不变,应有x12+ x22+ x32= x12 + x22 + x32满足此式的线性变换称为正交变换 。空间转动属于正交变换, 式中的系 数aij依赖于转动轴和转动角。8坐标变换式在一般情形中, 当公式中出现重复 下标时(如上式右边的j), 往往都要 对该指标求和。这是现代物理中通 用的约定。9爱因斯坦约定: 除特别声明外, 凡有重 复下标时都意味着要对它求和。以后为 了书写方便, 省略求和符号。变换式可简写为正交条件是10正交变换条件11反变换式12转置矩阵正交条件式可用矩阵乘法写为 其中I为单位矩阵变换系数矩阵形式13根据物理量在空间转动下的变换性质分类2. 物理量按空间变换性质的分类标量、矢量、张量等14在空间中没有取向关系,当坐标系转动时保持 不变的物理量。如质量、电荷等。设在坐标 系中某标量用u表示,在转动后的坐标系 中用u表示。由标量不变性有u= u(1) 标量 15在空间中有一定的取向性，用三个分量表示的 ，当空间坐标作转动变换时，三个分量按同一 方式变化的物理量。例如速度、力、电场强度 和磁场强度等都是矢量。以代表矢量,在坐标系 中的分量为i, 在转动后的系中的分量为i 。与坐标变换式对应, 有矢量变换关系(2) 矢量 16有些微分算符也具有矢量性质17这类物理量要用两个矢量指标表示, 有9个 分量, 显示出更复杂的空间取向性质。当空 间转动时, 其分量Tij按以下方式变换具有这种变换关系的物理量称为二阶张量。例 如应力张量, 电四极矩等。(3) 二阶张量18Tij= Tji二阶张量还可以进一步分类对称张量变换后仍为对称张量19Tij= -Tji反对称张量变换后仍为反对称张量20对称张量的迹是一个标量21二阶张量可以分解为三个部分迹 Tii无迹对称张量 Tij= Tji , Tii=0,反对称张量 Tij= -Tji .电四极矩就是一个无迹对称张量, 它只有5个 独立分量。22两矢量和w的标积iwi是一个标量。张量Tij可以和一个矢量j作出乘积Tijjiwi=aijj aikwk = ikjwk = jwj =不变量此式具有矢量的变换关系，因此是一个矢量。Tijj= aik ajl Tkl ajnn = aik lnTkln = aik Tijj23三维坐标转动是满足距离不变的线性变换, 即x12+ x22+ x32 = x12 + x22 + x32 =不变量3. 洛伦兹变换的四维形式24洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换x12+ x22+ x32 c2 t2 = x12 + x22 + x32 c2 t2 形式上引入第四维虚数坐标x4=ict25则间隔不变式可写为x12+ x22+ x32 + x42 = x12 + x22 + x32 + x42=不变量以后在下角指标中用拉丁字母代表1-3, 希腊 字母代表1-4, 间隔不变式可写为x x= xx=不变量26洛伦兹变换是满足间隔不变性式的四维线性变换x = a x27洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”, 因而三维正交变换的关系可以形式上推广到洛伦兹变换中去。须注意的是, 这四维空间的第四个坐标是虚数, 因此它是复四维空间, 不同于实数的四维欧几里德(Euclid)空间。28沿x轴方向的特殊洛伦兹变换式的变换矩阵为29逆变换矩阵变换式满足正交条件30在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空 间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的“ 转动”。由于物质在时空中运动，描述物质运动和属性的物理量必然会反映出时空变换的特 点。把三维情形推广，我们也可以按照物理量 在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性质 来把物理量分类。4. 四维协变量31四维矢量四维张量u= u洛伦兹标量在惯性系变换下与坐标有相同变换关系32这些物理量(标量、矢量和各阶张量) 在洛伦兹变换下有确定的变换性质间隔为洛伦兹标量协变量固有时洛伦兹标量33四维速度矢量U通常意义下的速度ui不 是四维矢量的分量通常意义下的速度ui是用参考系的时间量度的 位移变换率, ui的变换式不同于洛伦兹变换。因 为当坐标系变换时, dxi按四维矢量的分量变换 , 但dt也发生改变, 因此ui就不按矢量方式变 换。34U是用固有时量度的位移变换率U的前三个分量和普通速度联系着，当 c时即为u, 因此称为四维速度。参 考系变换时, 四维速度有变换关系35设有一角频率为,波矢量k为的平面电磁波在真 空中传播。在另一参考系上观察,该电磁波的 频率和传播方向都会发生改变(多普勒效应和光 行差效应) 。以和k表示上观察到的角频率 和波矢量。电磁波的相位因子在另一参考系观察的相位因子四维波矢量36第一事件：设参考系和的原点在时刻 t=t=0重合。在该时刻, 两参考系的原点上 都观察到电磁波处于波峰, 相位 = =0。第二事件：在系n个周期(t=2n/ )后, 第n 个波峰通过系原点, 相位 =-2 n 。它在 上的时空坐标为(x=0,t= 2n/ ), 在上的时 空坐标(x,t)可用洛伦兹变换求得, 而相位同 样是 = -2n 。相位和的关系37这是因为某个波峰通过某一时空点是一个物 理事件, 而相位只是计数问题, 不应随参考 系而变。因此, 相位是一个不变量相位和的关系38类似x与ict合为四维矢量x, k与i /c合为另 一个四维矢量k, 它们按四维矢量方式变换 , 有四维波矢量39在洛伦兹变换下，k的变换式为洛伦兹变换40设波矢量k与x轴方向的夹角为,k与x轴的 夹角为,有相对论的多普勒效应和光行差公式41若为光源的静止参考系，则=0, 0为静止光 源的辐射角频率。运动光源辐射的角频率其中为光源的运动速度, 为上观察者看到辐 射方向与光源运动方向的夹角。当c时， 1, 得经典多普勒效应公式42在垂直于光源运动方向观察辐射时,经典公式给出=0, 而相对论公式 给出即在垂直于光源运动方向上, 观察到的角 频率小于静止光源的辐射频率。这现象称 为横向多普勒效应。横向多普勒效应为 LvesStilwell实验所证实, 它是相对论时间 延缓效应的证据之一。43设在参考系上观察,由光源辐射出的光 线在xy面上,与x轴有夹角,则设系相对于以速度沿x轴方向运动,在系 上观察到光线与x轴有夹角,光行差公式也可以由速度变换公式导出44光行差较早为天文观测所发现 (Bradley于1728年) 。如设地球相 对于太阳参考系的运动速度为,在上看到某恒星发出的光线的 倾角为=-, 在地球上用望远 镜观察该恒星时, 倾角变为=- 。由于c, 得45由于地球绕太阳公转，一年之内地球运 动速度的方向变化一个周期，因此，同一颗 恒星发出的光线的表观方向也变化一个周期 。天文观测证实了这种周期变化，并且由光 线表观方向的改变比较准确地导出光的传播 速度。在相对论以前的以太理论中，光行差 的存在表明地球相对于“以太”运动，但以 后的迈克尔孙实验却否定了地球相对于“以 太”的运动。正是这会总矛盾最后导致以太 和绝对参考系的被否定，从而建立狭义相 对论的时空观。465. 物理规律的协变性四维矢量在参考系变换下有在参考系变换下方程形式不变的性质 称为协变性。相对性原理要求一切惯 性参考系都是等价的。47相对性原理要求一切惯性参考系都是 等价的。在不同惯性系中,物理规律 应该可以表为相同形式。如果表示物 理规律的方程是协变的话, 它就满 足相对性原理的要求。因此, 用四 维形式可以很方便地把相对性原理的 要求表达出来。只要我们知道某方程 中各物理量的变换性质, 就可以看 出它是否具有协变性。48