27.2 27.2 三角形相似的判定（三角形相似的判定（3 3 ）复复习习习习 1、相似三角形有哪些判定方法?AC/B/A/ CB2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？ （）定义法（不常用）（）“平行”定理：平行于三角形一边的 直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三 角形相似。 （）“三边”定理：三边对应的比相等，两 个三角形相似. （）“两边夹角”定理：两组对应边的比相等 ，并且相应的夹角相等的两个三角形相似.观察观察两副三角尺，其中同样角度（30与 60，或45与45）的两个三角尺,它们一定相 似吗？如果两个三角形有两组角对应相等， 它们一定相似吗？(1)作ABC和 ABC,使得AA,BB，这时它们的第三个角满足C C吗?(2)分别度量这两个三角形的边长,计算 ,你有什么发现?(3)ABC和 ABC相似 吗?ABCA/ C/ B/ 分析:要证两个三角形相似，目前只有四个途径。一是三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理；四是 上节课学习的“两边夹角”定理。ABCA/ C/ B/ 已知：在ABC 和A/B/C/ 中,求证:ABC A/B/C/ （把小的三角形移动到大的三角形上）。怎样实现移动呢?为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？证明：在ABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/， 连结DE。ABCA/ C/ B/ P48 P48 判定定理判定定理3 3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。D E AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/ A DEA/B/C/（SAS） ADE=B/，又 B/=B， ADE=B， DE/BC， ADEABC。 A/B/C/ABC求证：ABC ABC已知：在ABC 和 ABC,中,若A=A，B=B，-“两角”定理用数学符号表示：用数学符号表示：CAABBC A=A， B=B ABC ABC用数学符号表示：用数学符号表示：相似三角形的识别(两个角分别对应相等的两个三角形相似)例1、已知：ABC和DEF中， A=400，B=800，E=800， F=600。求证：ABCDEF AFECBD证明： 在ABC中，A=400，B=800， C=1800A B =1800400 800 600 在DEF中，E=800，F=600 B=E，C=F ABCDEF（两角对应相等，两三角形相似）。400 800 800 600 60600 02、课堂练习 （1）、已知ABC与A/B/C/中，B=B/=750，C=500， A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？（2）已知等腰三角形ABC和 A/B/C/中，A、A/分别是顶角 ，求证：如果A=A/，那么 ABCA/B/C/。如果B=B/，那么 ABCA/B/C/。ABCA/ B/ C/ 750 750 500 550 550 ABCA/B/C/ABCA/B/C/例2. 如图，ABC中，DEBC，EFAB，试说明ADEEFC. AEFBCD例题分析解: DEBC，EFAB（已知）， ADEBEFC （两直线平行，同位角相等） AEDC. （两直线平行，同位角相等） ADEEFC. （两个角分别对应相等的 两个三角形相似）3.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相 似的三角形证明.应用新知：选一选（1）与（4）与（5）-“两角”定理 （2）与（6）-“两边夹角”定理4、判断题：(1)所有的直角三角形都相似 . ( ) (2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.( )(3)所有的等边三角形都相似. ( )(4)所有的等腰直角三角形都相似. ( )(5)顶角相等的两个等腰三角形相似. ( )(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似. ( ) 应用新知：想一想ABDC 图 3填一填（1）如图3，点D在AB上，当 时， ACDABC。（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件 ，就可以使ADE与原ABC相似。 ABCE图 4 ACD B (或者 ACB ADB)DE/BCD(或者 C ADE)(或者 B ADE)D P48 练习 1、2例例2 2：如图，弦如图，弦ABAB和和CDCD相交于圆相交于圆O O内一内一 点点P P，求证：，求证：PAPB=PCPDPAPB=PCPD证明：连接证明：连接ACAC、BDBD。 A A和和D D都是弧都是弧CBCB所对的圆周角，所对的圆周角， A=A=D D。 同理同理C=C=B B （或APCDPB） 。 PACPACPDBPDB。 A AB BC CD DP POO即PAPB=PCPD例2.弦AB和CD相交于o内一点P,求证:PAPB=PCPDABCDPO证明:连接AD、BCA、C都是BD所对的圆周角 A=C同理: D=B（或APDCPB）PADPCB即PAPB=PCPDABCDE例3.已知D、E分别是ABC的边AB,AC上的点，若A=35, C=85,AED=60 则ADAB= AEAC85356085例4、在四边形ABCD中，AC平分DAB， ACD=ABC。求证：AC2=ABADABCD 1、在ABC中，ACB90，CDBA 于点D。证明：AC2ADAB练一练BDAC 2、已知梯形ABCD中，ADBC，BAD 90，对角线BDDC。 证明：BD2ADBC练一练BDACEABDC 3.如图已知D、E分别是ABC的边AB、AC 上的点，且 。证明：练一练EABDC解： A= A ABD=C ABD ACB AB : AC=AD : AB AB2 = AD AC AD=2 AC=8 AB =43.已知如图， ABD=C AD=2 AC=8，求AB ABCDDBCA184 2122 4、如图：在Rt ABC中， ABC=900，BDAC于D若 AB=6 AD=2 则AC=BD=BC=相似三角形的识别方法有那些？方法1：通过定义方法5：“两角”定理：两角对应相等，两三 角形相似。课 堂 小 结（这可是今天新学的，要牢记噢！)方法2： “平行”定理：平行于三角形一边的直线和其 他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。方法3：“三边”定理：三组对应的比相等，两个三 角形相似. 方法4：“两边夹角”定理：两组对应边的比相等，且 夹角相等的两个三角形相似.（不常用）5、如图：在Rt ABC中， ABC=900， BDAC于D ABDCEF问：若E是BC中点，ED的延 长线交BA的延长线于F，求证：AB : AC=DF : BFABCDEABCDE 21OCBADOCDABABCDE如图, ABC中,CD是边AB上的高, 且AD:CD=CD:BD, 求C的大小.综合提高4.如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C 的一点，过点P作直线截ABC，使截得的 三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有 （ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条应用新知：画一画C4.如图, B=90,AB=BE=EF=FC=1,求证: (1) AEF CEA. (2) 1+ 2= 45 证一证应用新知：已知零件的外径为25cm，要求 它的厚度x，需先求出它的内孔 直径AB，现用一个交叉卡钳（ AC和BD的长相等）去量（如 图），若OA：OC=OB：OD=3 ，CD=7cm。求此零件的厚度x 。 例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。ADBC已知：在RtABC中，CD是斜边AB上的高。证明: A=A，ADC=ACB=900，此结论可以称为“母子相似定理母子相似定理”,今后 可以直接使用. ACDABC（两角对应相等，两 三角形相似）。同理 CBD ABC 。 ABCCBDACD。求证：ABCACD CBD 。延伸练习 已知：如图，在ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。（2）图中还有与AEF相似的三角形吗？请一一写出 。ABCDE（1）求证：AEFADC；FAFEDC答:有AEFADCBECBDF.课外思考题：如图，在ABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连 结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ADE与 ABC相似？ ABCDEABCDE（提示：图有两种可能）（提示：图有两种可能）泰勒斯测量金字塔高度的示意图: AAB C B CCBACBA如果人体高度AC1.7米，人影长BC2.2米，而BC 176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？可证ABCABC即所以A C=1.7x1762.2=136m怎样创造具备预备定理条件的图怎样创造具备预备定理条件的图 形？形？ABCD F E 是否相似？利用相似三角形的利用相似三角形的定义定义？利用相似三角形的利用相似三角形的预备定理？预备定理？条件不够条件不够可以证明！求证：ABC ABC已知：在ABC 和 ABC,中, 若A=A，B=B，把小的三角形移动到大的三角形上把小的三角形移动到大的三角形上。ABCD F E M N AM=DE,A=D，AN=DF AMNDEF， AMN=E， 又 B=E， AMN=B， MN/BC， AMNABC。 DEFABC证明：在AB,AC上分别截取AM= DE,AN = DF已知:在ABC和DEF中,A=D,B=E,求证: ABC与 DEF.判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一 个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似。 (两角两角对应相等相等，两三角形两三角形相似相似) )找一找FABCDGE图 1（1）图1中DEFGBC，找出图中所有的相似三角形。（2）图2中ABCDEF，找出图中所有的相似三角形。答：相似三角形有 ADEAFGABC。答：相似三角形有 AOBFOEDOC。 AB图 2CFDEO（3）在ABC和ABC中，如果A80，C60，A 80，B40，那么这两个三角形是否相似？为什么？B=180 （A+C)=180 （80 +60 )=40