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09 年 4 月自考高等数学(一)模拟试题(一)参考答案一、单项选择题(本大题共一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 2 分,共分,共 10 分)分)1答案:B解析:1yy2(x+1)(x)=x-1 y+2yx-y=2x+2 x(y-2)=y+2x=y-2 x+2(x)=x-2 x+2y=f(x)l nx-22答案:A解析: 000022limlimlim01 cossincosttxxxx xxxxeedteeee xxx3答案:A解析:由函数可导知函数连续,再根据函数连续的定义有 0lim0 xy 4答案:C解析: 1111limlimlimlim xxxx2f (x)=2x =2,f (x)=3x-1 =2,又即在处连续 1lim xf (1)=2,f (x)=f (1),f (x)x=1又因为1111limlimlimlimxxxx-+f (x)=4x=4=f (1)f (x)=3=3=f (1)在处左右导数均存在但不相等,故不可导f (x)x=15答案:D解析: ( )2( )( )2xf xxxf xf x 222-x-x-xeee二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 10 小题,每空小题,每空 3 分,共分,共 30 分)分)6答案:1 3,4 4 解析: 由,得114 114 0x+0x-13 44 15 44 -xx其公共部分即为该函数的定义域1 3,4 4 7答案:1a q解析: 211lim1lim1lim011nnnnnnaaqaqaqaqq aqqq 因为,8答案:0解析:是有界量arctan2 2x ,arctanlim0 xx x 9答案:1 4解析:100( )400 1001 4004ggMCC gM C10答案:1 3解析:根据拉格朗日中值公式得2121f (x )-f (x )=f ( )(x -x )32( )2 ,030321 0 1 3f xxx212121f (x )-f (x )f ( )=x -xx =1, x11答案:(1,2)解析:2618120 12yxx x 原函数的单调递减区间是12,12答案:3 12xCx 解析:原方程变形为11122( )( )2223111, ( ), ( )( )111122p x x dxxdxxdxdyx yxp xq xxdxxxxyeq x edxCyexedxCxxx dxCxxxxCCxx 13答案:ln2a 解析:设,则1te =u2 221 ,1uudtduut =l n当时,当时,t =2l n23;u=ta1ae u=2ln23322113112121112arctan2arctan32arctan16arctan1,114 ln2aaataeea eaadtududuu uueueeea 14答案:21cossin2xxdxdyyy解析:222221sin22cos sincossin2cos1cossin2zxxxxyyzx yyzzxxxdzdxdydxdyxdxdyxyyyyy 15答案:2114e解析:111122200002 12122 001111112244yyyDyxedxdydxxedyxdxedyxeee 三、计算题(一)三、计算题(一) (本大题共(本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分)分)16. 答案:1ln1x xdxx解析: 原函数两边取对数得1lnxxxx l ny= l n两边关于 x 求导得ln1yx 1 y1ln1ln11ln1xxyxyxxdyxdxx 17答案:-1解析:2000011 lncotcotsinlimlimlimlim11lncos sinsinxxxxxxxxx xxxx x 18答案:2ln 515xC解析: 1 2112151ln 51511 551ln 511ln 51ln 515 11ln 511512 2ln 515dx xxdxxxxdxxCxC 19. 答案:2 4a解析:令则sin ,2t tx=acos,tdtdx=a222222 002 2222 002220sincoscoscos2121sin2224aax dxaattdtaatdttdtatta a20. 答案:2 xyzz22xZZ2e2exyz xx,解析: 令2z( , , )x2e1F x y zyxz2z xyz x xzz z22 y yzz zF22FxF2eF2222ZF2e2eFxxZF2e2exyzxxyzxyz xxxx 四、计算题(二)四、计算题(二) (本大题共(本大题共 3 小题,每小题小题,每小题 7 分,共分,共 21 分)分)21答案:33002 04 2VVVrhr,解析: 2 2Vr hVhr设所用材料为 S,则2222222,(0)24,VSrrhrrr VSrr 得唯一驻点0S 30,2Vr故当时所用材料最省33002 04 2VVVrhr,22答案:24解析:200002002 00 02 021 cos2sin21cos2211sin222211sin2sin224211cos2424xxxdxxdxxdxxxdxxxdxxxxxd xx 23. 答案:1解析:2220002220020sinsin1sinsin2 1cos12yxyyIdxdydydxyyyy dyy dyy 五、应用题(本题五、应用题(本题 9 分)分)24. 答案:(1)(2),y=2x-11 1230解析:(1) 切点为x=1y=11, 1切线斜率为2x=1x=1k=y=2x切线方程为y-1=2(x-1)即y=2x-1(2) 所求面积13122 0 01121()124312ySy dyyy所求体积 12220111325630xVxdx六、证明题(本题六、证明题(本题 5 分)分)25证明:222222222222( )ln(1)11 21 2 1( )ln(1) 11ln(1) 11ln(1)011( )ln(1)0f xxxxx x xxfxxxx xxx xxxx xxxxxxxfxxx 故当时单调递增,则即0x ( )f x( )(0),f xf22ln(1)11xxxx
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