09 年 4 月自考高等数学（一）模拟试题（一）参考答案一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 10 分）分）1答案：B解析：1yy2(x+1)(x)=x-1 y+2yx-y=2x+2 x(y-2)=y+2x=y-2 x+2(x)=x-2 x+2y=f(x)l nx-22答案：A解析： 000022limlimlim01 cossincosttxxxx xxxxeedteeee xxx3答案：A解析：由函数可导知函数连续，再根据函数连续的定义有 0lim0 xy 4答案：C解析： 1111limlimlimlim xxxx2f (x)=2x =2,f (x)=3x-1 =2,又即在处连续 1lim xf (1)=2,f (x)=f (1),f (x)x=1又因为1111limlimlimlimxxxx-+f (x)=4x=4=f (1)f (x)=3=3=f (1)在处左右导数均存在但不相等，故不可导f (x)x=15答案：D解析： ( )2( )( )2xf xxxf xf x 222-x-x-xeee二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每空小题，每空 3 分，共分，共 30 分）分）6答案：1 3,4 4 解析： 由，得114 114 0x+0x-13 44 15 44 -xx其公共部分即为该函数的定义域1 3,4 4 7答案：1a q解析： 211lim1lim1lim011nnnnnnaaqaqaqaqq aqqq 因为，8答案：0解析：是有界量arctan2 2x ，arctanlim0 xx x 9答案：1 4解析：100( )400 1001 4004ggMCC gM C10答案：1 3解析：根据拉格朗日中值公式得2121f (x )-f (x )=f ( )(x -x )32( )2 ,030321 0 1 3f xxx212121f (x )-f (x )f ( )=x -xx =1, x11答案：（1，2）解析：2618120 12yxx x 原函数的单调递减区间是12，12答案：3 12xCx 解析：原方程变形为11122( )( )2223111, ( ), ( )( )111122p x x dxxdxxdxdyx yxp xq xxdxxxxyeq x edxCyexedxCxxx dxCxxxxCCxx 13答案：ln2a 解析：设，则1te =u2 221 ,1uudtduut =l n当时，当时，t =2l n23;u=ta1ae u=2ln23322113112121112arctan2arctan32arctan16arctan1,114 ln2aaataeea eaadtududuu uueueeea 14答案：21cossin2xxdxdyyy解析：222221sin22cos sincossin2cos1cossin2zxxxxyyzx yyzzxxxdzdxdydxdyxdxdyxyyyyy 15答案：2114e解析：111122200002 12122 001111112244yyyDyxedxdydxxedyxdxedyxeee 三、计算题（一）三、计算题（一） （本大题共（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分）16. 答案：1ln1x xdxx解析： 原函数两边取对数得1lnxxxx l ny= l n两边关于 x 求导得ln1yx 1 y1ln1ln11ln1xxyxyxxdyxdxx 17答案：-1解析：2000011 lncotcotsinlimlimlimlim11lncos sinsinxxxxxxxxx xxxx x 18答案：2ln 515xC解析： 1 2112151ln 51511 551ln 511ln 51ln 515 11ln 511512 2ln 515dx xxdxxxxdxxCxC 19. 答案：2 4a解析：令则sin ,2t tx=acos,tdtdx=a222222 002 2222 002220sincoscoscos2121sin2224aax dxaattdtaatdttdtatta a20. 答案：2 xyzz22xZZ2e2exyz xx，解析： 令2z( , , )x2e1F x y zyxz2z xyz x xzz z22 y yzz zF22FxF2eF2222ZF2e2eFxxZF2e2exyzxxyzxyz xxxx 四、计算题（二）四、计算题（二） （本大题共（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 21 分）分）21答案：33002 04 2VVVrhr，解析： 2 2Vr hVhr设所用材料为 S，则2222222,(0)24,VSrrhrrr VSrr 得唯一驻点0S 30,2Vr故当时所用材料最省33002 04 2VVVrhr，22答案：24解析：200002002 00 02 021 cos2sin21cos2211sin222211sin2sin224211cos2424xxxdxxdxxdxxxdxxxdxxxxxd xx 23. 答案：1解析：2220002220020sinsin1sinsin2 1cos12yxyyIdxdydydxyyyy dyy dyy 五、应用题（本题五、应用题（本题 9 分）分）24. 答案：（1）（2），y=2x-11 1230解析：（1） 切点为x=1y=11, 1切线斜率为2x=1x=1k=y=2x切线方程为y-1=2(x-1)即y=2x-1（2） 所求面积13122 0 01121()124312ySy dyyy所求体积 12220111325630xVxdx六、证明题（本题六、证明题（本题 5 分）分）25证明：222222222222( )ln(1)11 21 2 1( )ln(1) 11ln(1) 11ln(1)011( )ln(1)0f xxxxx x xxfxxxx xxx xxxx xxxxxxxfxxx 故当时单调递增，则即0x ( )f x( )(0),f xf22ln(1)11xxxx