第二章 振 动Date吉林大学 物理教学中心概概 述述机械振动：机械振动：物体在一定位置附近做来回往复 的运动，称为机械振动。如声源 的振动、钟摆的摆动等。简谐振动：简谐振动：最简单、最基本的机械振动。最简单、最基本的机械振动。振 动：任何一个物理量在某一定值附近 作反复变化，称为振动。Date吉林大学 物理教学中心2.1.1 2.1.1 简谐振动方程简谐振动方程物体在一定位置附近的位移变化满足余弦（ 或正弦）规律，称为简谐振动。 二、 简谐振动基本特征2.1 简谐振动以以弹簧振子为例弹簧振子为例弹簧振子一、简谐振动(simple harmonic motion)在弹性限度内，弹性力在弹性限度内，弹性力由胡克定律（Hooke law）为为由牛顿第二定律得 Date吉林大学 物理教学中心令 ( 称为角频率）动力学特征：简谐振动的加速度与位移简谐振动的加速度与位移x x成正比，成正比， 且方向相反。且方向相反。有 由上式得简谐振动的运动方程。 运动学特征：位移位移x x按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )函数的规律随函数的规律随 时间变化。时间变化。三、简谐振动方程其解为简谐振动的微分方程。Date吉林大学 物理教学中心速速 度：度：加速度：加速度： 位移位移x x、速度速度u u、加速度加速度a a三者与时间三者与时间t t的关系的关系 如现象所示如现象所示。四、简谐振动的速度与加速度振动基本规律振动基本规律速度振幅速度振幅加速度振幅加速度振幅Date吉林大学 物理教学中心二、 周期（period）和频率（frequency）一、振幅（amplitude） 振动物体离开平衡位置的最大距离。 A、A、2A分别是位移、速度、加速度 振幅。完成一次全振动所需的时间T，单位是s。2.1.2 描述简谐振动的特征量注意 ： 周期的表示方法周期的表示方法式中是角频率, 单位是rads-1。Date吉林大学 物理教学中心因周期只与振动系统自身性质有关,故又称 为固有周期(natural period）。物体在一秒内完成全振动的次数，用用 表示表示 ，单位是，单位是HzHz（赫兹赫兹）。频率只与振动系统自身性质有关,故又称为 固有频率(natural frequency)。 频率的表示方法频率的表示方法三、相位与初相位 (phase and initial phase)t + 为相位， 为初相位，单位是rad 。Date吉林大学 物理教学中心例：O Ottt tO Oxt tO OxO O（1）相位的意义. . 反映了振动的周期性；相位确定了振动物体反映了振动的周期性；相位确定了振动物体 运动状态。运动状态。Date吉林大学 物理教学中心（2 2）初相初相 ，t t=0=0时刻的相位。决定振动物体初时刻的相位。决定振动物体初 始时刻的运动状态。始时刻的运动状态。 由运动方程可知：t = 0时刻Date吉林大学 物理教学中心两个简谐振动的相位之差称为谐振动的相位之差称为相位差相位差，用，用 表示表示。 四、相位差（phase difference）表示: 对同频情况： 即同频率的两个简谐振动，其相位差等于它 们的初相差。 Date吉林大学 物理教学中心 反映两振动的步调情况：反映两振动的步调情况：x xt to ot to ox2（超前） x1x x =0=0，同步振动；，同步振动； = = ，振动步调相反；振动步调相反； 00，x x2 2振动超前振动超前; ; 02 12Date吉林大学 物理教学中心练习练习1 1：当简谐振动的位移是振幅一半时，其动能和势当简谐振动的位移是振幅一半时，其动能和势 能各占总能量的多少？在什么位置，动能和势能各占总能各占总能量的多少？在什么位置，动能和势能各占总 能量的一半？能量的一半？解解 （1 1）x = x = A/A/2 2代入代入 中中Date吉林大学 物理教学中心练习2： 一弹簧振子沿x轴做简谐振动。已知其振动的 最大位移xm=0.3m，最大恢复力Fm=1.2N，最大速度 um=1.2ms-1。t =0时刻的初位移 ，且方向同 x轴正方向一致。求: 1）振动能量; 2）此振动方程。解解: (1): (1)(2)(2)Date吉林大学 物理教学中心练习3： 已知:m=2.5kg ，k=250N/m, t=0时振子处于平衡 位置右方且向x轴负方向运动，此时Ek=0.2J，Ep=0.6J。 求：(1) t =0时振子的位移和速度；(2) 振动方程。解：(1)(2)Date吉林大学 物理教学中心2.2.1 2.2.1 同频率、同方向简谐振动合成同频率、同方向简谐振动合成 合振动位移 x 就是 x1 与 x2 的代数和特点：1=2= , x1 / x2表示： 对如下两个振动2.2 简谐振动的合成Date吉林大学 物理教学中心合成结果为频率 为 的简谐振动。 x x2 2x x2 2x x1 1 x xP PMMA A 1 1MM1 1A A1 1 2 2MM2 2A A2 2 x xO O由旋转矢量法得出由旋转矢量法得出A A、 为为Date吉林大学 物理教学中心则：则：x1 x2 xt振幅最大 当A1=A2时, 合振幅是2A1 ；合振幅大小由初相位差决定。当A1=A2时,合振幅为0。振幅最小则：则：x1 x2 xt振动的合成Date吉林大学 物理教学中心例例: : 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动, , 其方程分别为：其方程分别为：求：合振动表达式。求：合振动表达式。 解：直接考察两个振动相位差：解：直接考察两个振动相位差：Date吉林大学 物理教学中心【练习】已知两个同方向的简谐振动：求：合振动方程。A1A2A解：Date吉林大学 物理教学中心2.2.2 同方向、频率相近的简谐振动简谐振动 的合成的合成 拍拍 简单起见，设两个分振动振幅相等，初相相同。简单起见，设两个分振动振幅相等，初相相同。合振动位移 此合振动不再是简谐振动，而是一种复杂的 振动 。 Date吉林大学 物理教学中心拍现象：由两个分振动频率微小差别而产生合振 动的振幅忽强忽弱的现象称为拍。随t变化缓慢随t变化较快当 都很大，且相差甚微时，可将成振动是以 为振幅，以 为角频率的近似谐振动。位移 ：Date吉林大学 物理教学中心拍频：单位时间内加强和减弱的次数(2) 合振幅变化频率“拍频”。1 秒合振动振幅（包络线）变化的频率称为“拍频”(1) 当 近似相等 ，振幅随时间缓慢变化 “拍”现象，最大振幅为2A。 Date吉林大学 物理教学中心2.2.3 振动方向垂直、同频率振动的合成振动的合成 对两个分振动合成得到质点的轨迹方程是垂直振动的合成为椭圆轨迹方程 。合运动一般是在 2A1 （x向）、2A2 （y向） 范围 内的一个椭圆。 椭圆的性质（方位、长短轴、左右旋）在 A1、 A2确定之后，主要决定于 = 21。 Date吉林大学 物理教学中心质点沿1、3或者 2、4象限沿直线做简简 谐振动。谐振动。 = 0 yx = yxDate吉林大学 物理教学中心 = 3/2 = 5/4 = /2 = /4P Q质点轨迹正椭圆。质点轨迹是任意形状椭圆。(3) 2-1为其他值振动的合成振动的合成 Date吉林大学 物理教学中心一、 两分振动频率相差很小可看作两频率相等而 随 t 缓慢变化，合 运动轨迹将按下图依次缓慢变化。对于两个相互垂直的分振动的频率不同，它 们的合运动比较复杂，且轨迹也不稳定。2.2.4 振动方向垂直、不同频率简谐振动的合成简谐振动的合成 Date吉林大学 物理教学中心二、 两分振动的频率成整数比如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合 成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这 种运动轨迹的图形称为李萨如图形。李萨如图形Date吉林大学 物理教学中心2.3 振动的分解与频谱分析任意一个复杂的周期性振动，都可以分解为任意一个复杂的周期性振动，都可以分解为 一系列振幅不同、频率不同简谐振动的合成。一系列振幅不同、频率不同简谐振动的合成。可以分解为一系列振幅不同、频率不同简谐 振动。周期性振动：振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动 。将复杂的周期性振动分解为一系列的简谐振将复杂的周期性振动分解为一系列的简谐振 动之和，从而确定出该振动包含的频率成分以及动之和，从而确定出该振动包含的频率成分以及 各种对应的振幅的方法。各种对应的振幅的方法。频谱分析：频谱分析：(frequency spectrum analysis)(frequency spectrum analysis)Date吉林大学 物理教学中心0w 2w 3w 4w 5w 6w 按傅里叶级数展开若周期振动的最低频率为:0则各分振动的频率为:0、20、 30分别称为基频、 二次谐频、 三次谐频 设周期性函数对于非周期性的振动分解成的一系列简谐振动的频率是连续的。分解是合成的逆过程。分解是合成的逆过程。Date吉林大学 物理教学中心2.4 阻尼振动 受迫振动 共振2.4.1 2.4.1 阻尼振动阻尼振动（damped vibrationdamped vibration） 振幅随时间减小的振动称为振幅随时间减小的振动称为阻尼振动阻尼振动。 一、 阻尼模型摩擦阻尼：摩擦阻尼：摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化 为热能；为热能； 辐射阻尼：辐射阻尼：振动系统引起临近质点的振动，使振动系统引起临近质点的振动，使 系统能量逐渐向四周辐射。系统能量逐渐向四周辐射。 阻尼模型阻尼模型: :适用于物体低速运动情况 适用于物体高速运动情况 g 称为阻尼系数Date吉林大学 物理教学中心以弹簧振子为例阻尼振动微分方程或写为定义固有角频率0和阻尼因子b，有二、 阻尼振动方程(低速)Date吉林大学 物理教学中心通解：（1 1）欠阻尼振动欠阻尼振动令A 与 由初始条件确定方程的解可写成txoT注意：是准周期性振动:三、 三种阻尼形式振幅项随时间衰减。阻尼振动阻尼振动Date吉林大学 物理教学中心由通解两项都衰减，不是周 期振动，不能往复运动。如单摆放在黏性的油 筒中摆到平衡位置需很长 时间。（2 2）过阻尼振动过阻尼振动（3 3）临界阻尼振动临界阻尼振动方程解 衰减函数Date吉林大学 物理教学中心临界阻尼达到平衡位 置的时间最短，但仍不能 超过平衡位置。过阻尼 临界阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼 临界阻尼三种阻尼振动比较Date吉林大学 物理教学中心弹性力阻尼力驱动力物体在周期性外力持续作用下发生振动，称 为受迫振动，这个外力称为驱动力。 以弹簧振子为例，振子受力有2.4.2 2.4.2 受迫振动（受迫振动（forced vibrationforced vibration）Date吉林大学 物理教学中心令二阶常系数非齐次微分方程受迫振动方程受迫振动方程的通解为Date吉林大学 物理教学中心此式表明：第一项为阻尼振动项，时间较长时衰减为0。第二项为驱动力产生的简谐运动。当系统达到稳定状态后，方程的解是Date吉林大学 物理教学中心稳定的受迫振动是一个与驱动力同频率的简 谐振动，其振幅和初相是tx简谐振动且其周