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3.1 扭转的概念和实例3.4 圆轴扭转时的应力与强度条件3.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切第三章 扭转与剪切3.7 薄壁杆件的自由扭转3.6 非圆截面杆扭转的概念 3.8 剪切和挤压的实用计算和变形3.9 密圈圆柱螺旋弹簧的应力 3.1 扭转的概念和实例一. 工程实例 主要承受扭转力矩的轴类零件FFFF二. 受力特点: 力偶矩作用面垂直轴线,即作用在横截面内四. 变形特点任意两横截面产生相对转动五. 主要研究对象 以圆轴为主(等直轴,阶梯轴,空心轴)三. 受力简图圆轴扭转三维动画实例:3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图一. 外力偶矩的计算2. 给出功率, 转速Me=9549P n(N m)(kW)(r/min).3. 传动机构 可根据传动比进行计算1. 直接给出 Me(Nm) (Nm/m)二.横截面上的内力MeMexMeMxMx截面法求内力: 切,取,代,平Mx=Me Mx为截面上的扭矩按右手螺旋法:指离截面为正,Mx指向截面为负。三. 内力图(扭矩图)如同轴力图一样,将 扭矩用图形表示称 扭矩图MxXMx=0 Mx-Me=0 例3-1 已知n PA PB PC PD, 作内力图。 (1)计算外力偶矩 MeA = 9549 PA/n=1591.5 Nm MeB =477.5 Nm MeC =477.5 Nm MeD =636.5 Nm (2) 采用正向假定内 力的方法可省去切 取代平的过程Mx=-MeB=-477.5 Nm Mx=-MeB-MeC=-955 Nm Mx= MeD= 636.5 NmMx/Nm477.5955636.5MeBMeCMeAMeD Mx图特点:1.有Me作用处,Mx图有突变,突变值=Me2.无力偶作用段,Mx图为水平线3. 有均布力偶作用段,Mx图为斜直线左起左起向上方的Me产生正的Mx 向下方的Me产生负的Mx右起右起反之Mx(x) = m x列扭矩方程的简便方法:Mx ml x在正向假定内力的前提下xlm3.3 薄壁圆筒的扭转纯剪切 一. 薄壁筒扭转实验Mex dxMex dx实验观察dxdx没变 D没变分析变形 x=0 =0x=0 =0 由于取的为薄壁,所以认为内壁与外壁变形相 同,沿t均布用平衡方程可求得:二. 切应力互等定理取出微块由微块的平衡条件可知:在受力构 中取出互相垂直的两个平面,要有切应力,必大小相等,方向同时指向或指离两个面的交线。这一现象称为切应力互等定理。tdydx方向垂直于交线 ,头对头或尾对尾 。相互垂直两平面,有切应力必成对,切应力互等定理口诀三. 纯剪切四. 剪切胡克定律Me当六面体只有四个面上有应 力且只有切应力的情况称纯剪 切,这种状态称纯剪切状态。 这是一种非常特殊也非常重要 的状态,以后将经常遇到。MePt实验表明: 剪切胡克定律切变模量 对各向同性材料 可以证明:E,G, 三者关系:3-4 圆轴扭转时的应力与强度条件一. 圆轴扭转时横截面上的应力Me完全同薄壁筒扭转dx推理:外 里 假设: 刚性平面实验观察:d/2ddxrr1. 几何方程 表面处处2. 物理方程Mx三. 静力方程dAMxA横截面对圆心 的极惯性矩抗扭刚度pmaxWMx=令抗扭截面模量令1. 实心圆截面直径d32d 2d4p=32d4p=四. IP Wp 计算2. 空心圆截面外径D内径dp=2d2= d/D)1(32D44 -p=)1 (16D43 -p=三. 圆轴扭转时斜截面上的应力 由于圆轴扭转横截面上的 应力分布是线性的,这时 不能象拉伸那样沿斜截面 切开,可以取微体来研究 。 xy 在表面处取出单元体为纯切 应力状态。求面上的应力 时可应用截面法:n tCOS2COS21. =f(), =g()2. 有极值存在3. 比较极值,求max max-0 45o- 0 90o0 - 45o0 0o )(90 mino-=) (0 maxo=)(45 - mino=)(-45 maxo=minmax讨 论 :四. 圆轴扭转时的强度条件对等直轴:危险截面为Mxmax截面, 危险点为圆轴周边各点强度条件为为材料的许用切应力对变截面轴: 要各段分别计算,找 出max 当Mx=C,显然发生在 dmin(Wpmin)处例 3.2 已知: D=76mm,t=2.5mm, =100MPa求:(1)校核扭转强度 (2)改为强度相同实心轴,求W空/W实安全 max=97.5mm9 .46D 105 .971980 16D 163 1=pmax=97.5Wp1MPa5 .97 .max=MxmaxWp.2 令实心轴MPa597max=Mxmax.97105 W 6p=Mxmax显然,空心轴比实心轴的重 量轻,节省了材料. 在扭轴设计 中,选用空心轴是一种合理的设 计.3.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件 一. 两横截面间绕轴线的相对扭转角由前节d L 2. 当Mx GIP在 分段内不变化 时1. 当L段内Mx GIP均不变化时3. 当Mx d沿x轴 连续变化时(rad/m) GIMx dxdP=二. 刚度条件工程中的某些构件(车床主轴凸轮轴)对刚度 要求比较高,衡量刚度(变形)的程度用单位长度工程中习惯采用 (/m) 故刚度条件: 对于等直圆轴:的扭转角。对圆轴扭转刚度条件:max对于等直圆轴强度条件:max强度1.校核 2.设计 3.确载刚度条件解决三类问题强度刚度结构 校核 满足 满足 满足设计 d1 d2 d1、d2max确载 Me1 Me2 Me1、Me2min强调:对扭转的轴来说,一般情况下,不论是校 核、确载、设计三方面的问题必须要同时满 足强度、刚度条件。例3.3 已知: PA=6kW、PB=4kW、PC=2kW =30MPa 、= m、G=80GPa、n=208转/min,求:d=?MeA MeBMeC计算外力矩:解:(1)MeB=183.6Nm MeC=91.8Nm (2) 绘制扭矩图Mx/Nm 183.691.8(+)(-)MeA=275.4Nm 183.691.8Mx/Nm(+)(-)(3)由强度条件m105 .31Mx16d33 max 1-=pm1034GMx32d342max 2-= p由刚度条件(4)四. 圆轴扭转时弹性变形能MeMeMe1. 当Mx沿x为连续函数Mx(x)U=W= Me212. 当Mx、GIP在分段内不变化Pii=ii IGMx L3. 当L段内Mx、GIP不变化PGIMxL=P2GI2LMxU=Pii =n1i2IG2UiiMx L4.比能 若取单元体属纯剪切状态比能可以看出:变形能仍为载荷( 扭矩)的二次函数.3.6 非圆截面杆扭转的概念一. 非圆截面杆和圆截面杆扭转时的区别变形特点: 刚性平面横截面不再为平面. 前面的公式均不适用.非圆截面用材料力学 的理论方法求解不了.书中结论 均为弹性理论得到的结论.二. 矩形截面杆的扭转 由切应力互等定理可证得 横截面上切应力分布特点: 1.周边的必与周边相切bh12.外尖角处1 .3 查表b hb I3 tb=GIMxL hbGMxLt3=b=max1=hbMx 2max=3.7 薄壁杆件的自由扭转本节只讨论薄壁杆件自由扭转时应力的分布规律及开口、闭口薄壁杆件扭转时的区别 及承载能力比较。 一. 开口tGIMxL=ti iIMxd=3 in1iith31Idh= = -h修正系数Mx 当壁厚变化时 发生在处h31Mx IMx3 iimaxtmax maxn1i =dd=d=与边界相切,形成顺流二. 闭 口MxtMxtct2minminmax4GMxLs2t wjwddttd=称为剪力流发生在 处bhtMx-中线所围面积S-中线长例3.5 已知:相同尺寸的有缝、无缝钢管,截面 上扭矩Mx相同 , 比较抗扭强度、刚度. 解:设中径为d,壁厚为tdt2pt21Mx2Mx=pdGt3MxL4 1= L42GMxsL=232dtMx3 dt3/1Mxt p=p=3332dtGMxL3 td3/GMxL p=p=设20td=30 td2312= 300) td( 43212= 可见开口比闭口的强度和刚度都大大下降3.8 剪切和挤压的实用计算 一. 剪切构件的受力和变形特点FF受力特点: 作用在构件两侧上外力的合力大小 相等、方向相反,且作用线相距很近变形特点: 位于两个力间的截面(剪切面)发生 相 对 错动 工程实例: 钉销钉螺栓键(花键平键)动 画 实 例 演 示内力分析: 比较复杂 实用计算方法: 根据剪切破坏的实际情况,作 出反映实际的假设,简化计算 二. 剪切的实用计算FF1. 认为受剪面上只有剪力FQ3. 切应力在受剪面上均匀分布2. 平行FQ,方向同FQFFQF剪切强度条件 单剪 FQ=FFF双剪 FQ=F/2FF应 用破坏计算 (安全销、安全阀、安全计算 (联接的钉、键要满足 剪切强度条件)冲剪板)三. 挤压的实用计算 联接件与被联接件之间接触-挤压力 Fbs、 挤压面、挤压面积Abs 1.假定在挤压面上挤压应力是均匀分布的2.当接触面为圆柱形,用直径平面作为挤压面挤压强度条件d t td 3.9 密圈圆柱螺旋弹簧的应力和变形FFd结构特点及主要尺寸 1. 实体圆截面弹簧 2. dD=2R 3. 5 4. 有效圈数n 一.簧杆横截面上的内力FRMx=FRFQ=F应用截面法切 取 代 平FQ=FMx=FR二.簧杆横截面上的应力FRMx=FRFQ=FFQAAMxO讨 论 :当 时, 可不考虑剪切影响 若考虑簧丝曲率及剪切的影响,引入修正系数三 弹簧的变形FFFFO则令弹簧刚度例 3-8已知某弹簧,R=59.5mm,d=14mm,n=5, =350Mpa,G=80Gpa,=55.试校核 该弹簧的强度.由得由表3-2查出k=1.17故 符 合 要 求
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