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第 二 章5第 一 课课 时时把握 热热点考 向应应用创创新演练练考点一考点二理解教材新知第一课时 直线间的夹角、平面间的夹角山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度,甲站在水平地面上的A处,乙站在山坡斜面上的B处,从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m,CD的长为60 m,AB的长为80 m.问题4:若n1,n2分别为两个平面1、2的法向量,则1与2的夹角与n1,n2有什么关系?1两直线的夹角当两条直线l1与l2 时,把两条直线交角中,范围在 内的角叫做两直线的夹角2异面直线l1与l2的夹角(1)定义:直线l1与l2是异面直线,在直线l1上任取一点A作ABl2,则 和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角共面直线l1s1,s2s1,s2平面1平面2直线l1和l2例1 如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BAD90,ADBC,ABBCa,AD2a,且PA底面ABCD,PDA30,AEPD,E为垂足(1)求证:BEPD;(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值思路点拨 要证明两直线垂直,或求两直线的夹角,只要适当地建立空间直角坐标系,求出两直线对应的方向向量,然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得1已知直线l1的一个方向向量为a(1,2,1),直线l2的一个方向向量为b(2,2,0),则两直线的夹角为_2在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,求异面直 线BA1与AC的夹角3. 如右图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,PAD60,在四边形ABCD中,ADCDAB90,AB4,CD1,AD2.(1)建立适当的坐标系,并写出点B、P的坐标;(2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值4正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB4,点E在CC1且C1E3EC.(1)证明:A1C平面BED;(2)求平面A1DE与平面BDE夹角的余弦值解:以D为坐标原点,DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系可知D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)用向量法求两异面直线的夹角及两平面的夹角时,要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a,b的夹角及两平面的法向量n1,n2的夹角的关系:当cosa,b0时,cos cosa,b,当cosa,b0时,cos cosa,b,即cos |cosa,b|.当cosn1,n20时,cos cosn1,n2,当cosn1,n20时,cos cosn1,n2,即cos |cosa,b|.
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