学案4 基本不等式 及应用 基本不 等式及 应应用1.掌握两个（不扩扩展到三个）正数的算术术 平均数小于它们们的几何平均数的定理，并 会简单简单 的应应用. 2.掌握比较较法、分析法、综综合法证证明简单简单 的不等式. 3.能够够利用基本不等式求函数的最值值,能熟 练练运用比较较法、综综合法证证明不等式，注意 掌握变变形过过程中的一些常用技巧；能够够运 用配方思想、函数思想、分类讨论类讨论 思想来 证证明不等式.从近几年的高考试题看,均值不等式 (a,bR+)的应用一直是高考命题的热点,在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.因此2012年的高考复习,要注意复习方向.1.如果a，bR,那么 （当且仅当 时取“=”）.2.如果a，b是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）.3.通常把 叫做基本不等式.(a0,b0)a2+b22ab a=ba=b 若a0,b0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号).ab1; 2;a2+b22;a3+b33; 2.考点考点1 1 基本不等式基本不等式【分析】由基本不等式和其变形式判断,化不等式为基本不等式的形式.【解析】ab =1，成立.欲证 ,即证a+b+2 2,即2 0,显然不成立.欲证a2+b2=(a+b)2-2ab2,即证4-2ab2,即ab1,由知 成立.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)3 a2-ab+b2 (a+b)2-3ab 4- 3ab ab ,由知,ab 不恒成立.欲证 2,即证 2,即ab1,由知成立.故填.【评析评析】 熟练掌握基本不等式及其几种变形式.应用均值不等式判断命题的真假的关键是看是否符合均值不等式的 条件，即a2+b22ab成立的条件是a，bR,而 成立的条件是a0且b0.若a，b是正数，则 这四个数的大小顺序是 .(a，b是正数，而 ,又a2+b22ab 2(a2+b2)(a+b)2 , ，因此 .)已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )A.3 B.4 C. D.【分析】在x+2y+2xy中2xy与x+2y有联系:x+2y2 ,故可由基本不等式建立求x+2y的最小值的不等式.考点考点2 2 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 【解析】x+2y+2xy=8,x+2y2 ,8x+2y+ ,令x+2y=t,则t+ 8,t2+4t-320,(t+2)236,又x0,y0,t0,t4,即x+2y4.(“=”成立时x=2,y=1)x+2y的最小值为4.故应选B.【评析评析】 （1）利用均值不等式求最值需注意的问题：各数(或式)均为正;和或积为定值;等号能否成立,即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.（2）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值.（3）当多次使用均值不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是 .【解析】由x0,y0,2x+y+6=xy,得2x+y2 +6(当且仅当2x=y时,取“=”），即( )2-2 -60,( -3 )5( + )0.又 0, 3 ，即xy18.xy的最小值为18.围建一个面积为360 m2的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用 的旧墙需维修),其他三面围墙要新建, 在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙 的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最 小总费用.考点考点3 3 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用 【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则 y=45x+180（x-2）+1802a=225x+360a-360.由已知xa=360，得a= ，y=225x+ -360（x0）.(2)x0,225x+ 2=10 800.y=225x+ -36010 440.当且仅当225x= 时，等号成立.即当x=24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用 是10 440元.【评析评析】在应用均值不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)建立相应的函数关系式,确定函数的定义域;(3)在定义域内只需再利用均值不等式,求出函数的最值;(4)回到实际问题中去,写出实际问题的答案.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_吨.【解析】 1.1.基本不等式基本不等式(1)(1)注意不等式成立的条件注意不等式成立的条件a0,b0.a0,b0.当当a0,b0a0,b0时时, , , , 分别叫做这两个正数的算术分别叫做这两个正数的算术平均数、几何平均数，因此，该不等式又可记作两个平均数、几何平均数，因此，该不等式又可记作两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. .(2)(2)基本不等式具有将基本不等式具有将“和式和式”转化为转化为“积式积式”与将与将“积式积式”转化为转化为“和式和式”的放缩功能，在证明或求最值的放缩功能，在证明或求最值时，要注意应用这种转化思想时，要注意应用这种转化思想. .2.2.创设应用基本不等式的条件创设应用基本不等式的条件(1)(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧合理拆分项或配凑因式是常用的技巧, ,而拆与凑的目而拆与凑的目标在于使等号成立标在于使等号成立, ,且每项为正值且每项为正值, ,必要时出现积为定值必要时出现积为定值或和为定值或和为定值. .因此因此, ,通常称通常称“ “一正、二定、三等一正、二定、三等” ”. .(2)(2)当多次使用基本不等式时当多次使用基本不等式时, ,一定要注意每次是否能保一定要注意每次是否能保证等号成立证等号成立, ,并且要注意取等号的条件的一致性并且要注意取等号的条件的一致性, ,否则就否则就会出错会出错, ,因此在利用基本不等式处理问题时因此在利用基本不等式处理问题时, ,列出等号成列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤立的条件不仅是解题的必要步骤, ,而且也是检验转换是而且也是检验转换是否有误的一种方法否有误的一种方法. .1.1.基本不等式具有将基本不等式具有将“ “和式和式” ”转化为转化为“ “积式积式” ”与将与将“ “积积 式式” ”转化为转化为“ “和式和式” ”的放缩功能，在证明或求最值时，要的放缩功能，在证明或求最值时，要 注意这种转化思想的应用注意这种转化思想的应用. .2. 2.创设应用基本不等式的条件创设应用基本不等式的条件（1 1） 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆 与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出 现积为定值或和为定值现积为定值或和为定值. .（2 2） 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次当多次使用基本不等式时，一定要注意每次 是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致 性性 ， 否则就会出错，否则就会出错， 因此在利用基本不等式处理问题因此在利用基本不等式处理问题 时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且 也是检验转换是否有误的一种方法也是检验转换是否有误的一种方法. .3.3.基本不等式的几种变形公式基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌 握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：( (a,ba,bR R). ).(a (a0,b0,b0).0).