第四章第四章 方差分析方差分析第一节第一节 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析 第三节第三节 双因素方差分析双因素方差分析如某种农作物的收获量受作物品种、 肥料种类及数量等的影响；选择不同 的品种、肥料种类及数量进行试验，日常生活中经常发现，影 响一个事物的因素很多， 希望找到影响最显著的因 素看哪一个影响大？并需要知道起显著作用的因素在什么时候起最好的影响作用。方差分析就是解决这 些问题的 一种有效方法。ANOVA 由英国统计 学家R.A.Fisher首创， 为纪念Fisher，以F命 名，故方差分析又称 F 检验 （F test）。用 于推断多个总体均数有 无差异 因素（因子） 可以控制的试验条件因素的水平 因素所处的状态或等级单（双）因素方差分析讨论一个（两个 ）因素对试验结果有没有显著影响。例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。序号冲击强力浓度1 2 3 4 5 6A1 16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0A2 16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7A3 19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7方差分析就是把总的试验数据的波动分成1、反映因素水平改变引起的波动 。2、反映随机因素所引起的波动。然后加以比较进行统计判断，得出结论。第一节第一节 方差分析的基本问题方差分析的基本问题一、方差分析的内容一、方差分析的内容 二、方差分析的基本思想二、方差分析的基本思想 三、方差分析的原理三、方差分析的原理一、方差分析的内容一、方差分析的内容该饮料在五家超市的销售情况该饮料在五家超市的销售情况 超市超市无色无色粉色粉色橘黄色橘黄色绿色绿色1 1 2 2 3 3 4 4 5 526.526.5 28.728.7 25.125.1 29.129.1 27.227.231.231.2 28.328.3 30.830.8 27.927.9 29.629.627.927.9 25.125.1 28.528.5 24.224.2 26.526.530.830.8 29.629.6 32.432.4 31.731.7 32.832.8（一）例题一）例题某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄橘黄 色色、粉色粉色、绿色绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可 能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级 市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。试分析饮料的颜色是否对销市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。试分析饮料的颜色是否对销 售量产生影响。售量产生影响。一、方差分析的内容一、方差分析的内容（二）几个基本概念（二）几个基本概念1. 1.因素或因子因素或因子 所要检验的对象称为因子所要检验的对象称为因子 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色颜色是要检验的因素或是要检验的因素或 因子因子2. 2.水平水平 因素的具体表现称为水平因素的具体表现称为水平 A A1 1、A A2 2、A A3 3、 A A4 4四种颜色就是因素的水平四种颜色就是因素的水平3. 3.观察值观察值 在每个因素水平下得到的样本值在每个因素水平下得到的样本值 每种颜色饮料的销售量就是观察值每种颜色饮料的销售量就是观察值一、方差分析的内容一、方差分析的内容4. 4.试验试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的 试验试验5. 5.总体总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如比如A A1 1、A A2 2、A A3 3、 A A4 4四种颜色可以看作是四个总四种颜色可以看作是四个总 体体6. 6.样本数据样本数据 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样 本数据本数据（一）比较两类误差，以检验均值是否相等（一）比较两类误差，以检验均值是否相等 （二）比较的基础是方差比（二）比较的基础是方差比（三）如果系统（三）如果系统( (处理处理) )误差显著地不同于随机误差显著地不同于随机 误差，则均值就是不相等的；反之，均值就误差，则均值就是不相等的；反之，均值就 是相等的是相等的（四）误差是由各部分的误差占总误差的比（四）误差是由各部分的误差占总误差的比 例来测度的例来测度的二、方差分析的基本思想二、方差分析的基本思想三、方差分析的原理三、方差分析的原理（一）两类误差（一）两类误差1. 1.随机误差随机误差 在因素的同一水平在因素的同一水平( (同一个总体同一个总体) )下，样本的各观察值之间下，样本的各观察值之间 的差异的差异 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者 说是由于抽样的随机性所造成的，称为说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差随机误差2. 2.系统误差系统误差 在因素的不同水平在因素的不同水平( (不同总体不同总体) )下，各观察值之间的差异下，各观察值之间的差异 比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的 这种差异这种差异可能可能是由于抽样的随机性所造成的，是由于抽样的随机性所造成的，也可能也可能是由是由 于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素 造成的，称为造成的，称为系统误差系统误差三、方差分析的原理三、方差分析的原理（二）（二）两类方差两类方差1. 1.组内方差组内方差 因素的同一水平因素的同一水平( (同一个总体同一个总体) )下样本数据的方差下样本数据的方差 比如，无色饮料比如，无色饮料A A1 1在在5 5家超市销售数量的方差家超市销售数量的方差 组内方差只包含组内方差只包含随机误差随机误差2. 2.组间方差组间方差 因素的不同水平因素的不同水平( (不同总体不同总体) )下各样本之间的方差下各样本之间的方差 比如，比如，A A1 1、A A2 2、A A3 3、A A4 4四种颜色饮料销售量之间的四种颜色饮料销售量之间的 方差方差 组间方差既包括组间方差既包括随机误差随机误差，也包括，也包括系统误差系统误差三、方差分析的原理三、方差分析的原理（三）（三）方差的比较方差的比较 如果不同颜色如果不同颜色( (水平水平) )对销售量对销售量( (结果结果) )没有影响，那么在组没有影响，那么在组 间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组 间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接 近近1 1。 如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随 机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于 组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1 1。 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在 着显著差异。着显著差异。三、方差分析的原理三、方差分析的原理（四）（四）基本假定基本假定1. 1.每个总体都应每个总体都应服从正态分布服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的 简单随机样本简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布2. 2.各个总体的各个总体的方差必须相同方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同3. 3.观察值是观察值是独立独立的的 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立三、方差分析的原理三、方差分析的原理在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题个正态总体的均值是否相等的问题 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近的均值也会很接近 1 1、四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值、四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值 相等的证据也就越充分相等的证据也就越充分 2 2、样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据、样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据 就越充分就越充分 三、方差分析的原理三、方差分析的原理3 3、如果原假设成立，即、如果原假设成立，即H H0 0: : 1 1= = 2 2= = 3 3= = 4 4 四种颜色饮料销售的均值都相等四种颜色饮料销售的均值都相等 没有系统误差没有系统误差这意味着这意味着每个样本都来自均值为每个样本都来自均值为、差为、差为 2 2的的 同一正态总体同一正态总体X Xf(X)f(X) 1 1 2 2 3 3 4 4三、方差分析的原理三、方差分析的原理4 4、如果备择假设成立，即、如果备择假设成立，即H H1 1: : i i( (i i=1=1，2 2，3 3，4)4)不全相等不全相等 至少有一个总体的均值是不同的至少有一个总体的均值是不同的 有系统误差有系统误差这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 X Xf(X)f(X) 3 3 1 1 2 2 4 4第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析一、数据结构一、数据结构 二、单因素方差分析的步骤二、单因素方差分析的步骤 三、单因素方差分析中的其它问题三、单因素方差分析中的其它问题X Xf(X)f(X) 1 1 2 2 3 3 4 4一、数据结构一、数据结构 观察值观察值 ( ( j j ) )因素因素( (A A) ) i i水平水平A A1 1 水平水平A A2 2 水平水平A Ak k1 1 2 2: : : :n n x x11 11