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5.3.1、正(负)定二次型的概念5.3 正定二次型与对称正定矩阵由定义可知,正定矩阵必是半正定矩阵,但是 半正定矩阵不一定是正定矩阵。1为正定二次型为负定二次型例如一个二次型既不是半正定的,也不是半负正定 的,则称是不定的二次型。为半正定二次型。为半负定二次型。为不定二次型。2定理1 非退化线线性变换变换 不改变变二次型的正定性,证证明:设设A是正定的,与定理1等价的有 定理2 合同变换不改变对称矩阵的正定性,35.3.2、正(负)定二次型的判别定理3 设设n元实实二次型的秩为为r,正惯惯性指标为标为 p, 负惯负惯 性指标为标为 q, 则则二次型为为 (1) 正定的充要条件是p=n, (2) 负负定的充要条件是q=n, (3) 不定的充要条件是0prn, 0q4定理4 设设A是n阶对阶对 称矩阵阵,则则有 (1) A是正定的充要条件是A的特征值值全是正数。 (2) A是正定的充要条件是A与单单位阵阵合同,(3) A是正定的,则则|A|05定理5 对对称矩阵阵A为为正定的充分必要条件是:A的 各阶阶主子式为为正,即对对称矩阵阵A 为负为负 定的充分必要条件是:奇数 阶阶主子式为负为负 ,而偶数阶阶主子式为为正,即6设设二次型是正定的,对对每个k,1kn,令证明 必要性:7定理6 设设B是mn矩阵阵,则则BTB是对对称半正定矩 阵阵。如果B的秩是n,那末BTB还还是正定矩阵阵。如果B的秩是n,即B的列向量线线性无关,因此当 X0时时,必定有Y=BX0,从而有所以这时这时 BTB是正定矩阵阵。证明:由(BTB)T=BT(BT)T=BTB,可见BTB是对称矩阵。所以BTB是半正定矩阵。8正定矩阵阵具有以下一些简单简单 性质质9例1 判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.10例2 判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵,11例3 判别二次型的正定性.解12例4 设设矩阵阵判断矩阵阵A是否为为正定,是否为负为负 定?解 取向量13所以A不是正定的。14例5 判别别二次型解 二次型的对应对应 矩阵为阵为的正定性.15A和2A具有相同的正定性,故判定2A的正定性即可。162A的全部顺顺序主子式都大于0. A正定,f正定. 17例6 判断n阶阶(n2)矩阵阵A是否是正定阵阵. 18解法1 顺顺序主子式:正定19解法2 求A的特征值值.得A的特征值为值为全大于零. 故A正定. 解法3 见见p233例5.3.220例7 设设A,B是n阶实对阶实对 称阵阵,其中A正定, 试证试证 当 实实数t充分大时时,tA+B也正定.仍是对对称阵阵,故存在正交阵阵R,证 由A正定,存在可逆阵Q使A=QTQ, 即(QT)-1 AQ-1= (Q-1)T AQ-1=E, 令P=Q-1,则有PTAP=E.21使其中是的特征值值.22当时时,全大于零,正定,从而正定。这时23242. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法:(1)定义法; (2)顺次主子式判别法; (3)特征值判别法.5.3.4、小结1. 正定二次型的概念,正定二次型与正定 矩阵的区别与联系3. 根据正定二次型的判别方法,可以得到 负定二次型(负定矩阵)相应的判别方法.25
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