第1章 集合1.1 集合与集合的表示方法知识整合1集合、元素 (1)集合：一般地，把一些能够_ 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些 对象的_构成的集合(或集)通常用 _表示 (2)元素：构成集合的_叫做这个 集合的元素(或成员)，通常用_表示 2元素与集合的关系3.集合元素的性质特征 (1)_；(2)_；(3)_ 知识 点关系概念记 法读法元素 与集 合的 关系属于如果 _， 就说a属于A“a属于 A” 不属 于如果 _， 就说a不属于 A“a不属于 A” 4集合的分类5常用数集的意义及表示 意义名称记法 _构成的集合自然数 集 在自然数集内_ 的集合正整数 集_或 _ _构成的集合整数集 _构成的集合有理数 集 _构成的集合实数集6.集合的表示法 (1)列举法：如果一个集合是有限集，元 素又不太多，常常把集合的所有元素都 _出来，写在大括号内表示这个集合 (2)特征性质描述法：如果在集合I中，属 于集合A的任意一个元素x都_，而不 属于集合A的元素都_，则_ 叫做集合A的一个特征性质于是，集合A可 描述为_答案：1.确定的不同 全体 大写拉丁 字母 对象 小写拉丁字母 2a是集合A的元素 aA a不是集合 A的元素 aA 3确定性 无序性 互异性 4 有限集 无限集5全体自然数 N 正整数 N* N全体整数 Z 全体有理数 Q 全体实 数 R 6一一列举 具有性质p(x) 不具有性 质p(x) 性质p(x) xI|p(x)名师解答为何说用描述法表示的集合，认识 它要 看清集合的代表元素是什么？ 描述法是将所给集合中全部元素的共同 特征性质用文字或符合语言描述出来的方法 ，它反映了集合元素的形式 如：集合Dy|yx22x3y|y(x 1)22y|y2，该集合的全部元素的 共同特征性质是大于或等于2的实数，所以 Dy|yx22x3与Ex|x2为同一集 合；所以说，用描述法表示的集合，要抓住 元素进行分析，弄清集合的代表元素应具有 哪些特征性质，从而准确理解和把握集合的 内涵，有意识地引导我们分析集合是由哪些 元素所组成的，有效地避免解题错误 的发生 深入学习题型一 集合中元素确定性的应用 【例1】 下列所给对象能构成集合的是 _ (1)高一数学课本中所有的难题； (2)不超过20的非负数； (3)某一班级16岁以下的学生； (4)某中学的大个子； (5)某学校身高超过1.80米的学生； (6)1,2,3,1.分析：集合是一组对象的全体，因此观 察一组对象能否构成集合，关键是看这组对 象是否符合元素的特性 解析：(1)不能构成集合“难题”的概念 是模糊的、不确定的，无明确的标准，对于 一道数学题是否是“难题”无法客观地判断 实际上一道数学题是“难者不会，会者不难” ，因而“高一数学课本中的难题”不能构成集 合 (2)能构成集合对于任意给定的一个实 数z，可以明确地判断是不是“不超过20的非 负数”，即“0z20”，与“z20”其中一 个成立，所以“不超过20的非负数”能构成集 合(3)能构成集合其中的元素是16岁以下 的学生 (4)不能构成集合因为未规定大个子的 标准，所以(4)不能构成集合 (5)能构成集合由于(5)中的对象具备确 定性，因此能构成集合 (6)不能构成集合虽然(6)中的对象具备 确定性，但有两个元素都是1，不符合元素 的互异性，所以(6)不能构成集合 故应填(2)，(3)，(5) 答案：(2)，(3)，(5) 评析：判断指定的对象能不能构成集合， 关键在于能否找到一个明确的标准，对于任 何一个对象，都能确定它是不是给定集合的 元素，同时还要注意集合中元素的互异性变式训练 1 判断以下各组对象能否构 成集合 (1)很小的数； (2)不超过30的非负数； (3)直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等 的点； (4)的近似值； (5)高一新课程开设的所有科目； (6)高一(三)班个子较高的男生分析：本题主要考查对集合元素的确定 性的理解，所给的对象不明确就不能构成集 合 解：(1)、(4)、(6)中的元素没有明确的判 断标准，因此不能构成集合 (2)、(3)、(5)中的对象具体、明确，可以 构成集合分析：首先理解与的意义，然后要知 道每个集合是由哪些元素组成的或其中元素 的限定条件，从而判定元素是否属于这个集 合 解：(1)由于是无理数，则应填； (2)因为(1)01是自然数，则应填；答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)变式训练 2 用符号或填空答案：(1) (2) (3) 题型三 用列举法表示集合 【例3】 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2x的所有实数根组成的集合； (3)由120以内的所有质数组成的集合 分析：用列举法表示集合时，应把集合 中的元素一一列举出来，并且写在大括号内 ，元素和元素之间要用“，”隔开解：(1)设小于10的所有自然数组成的集 合为A， 那么A0,1,2,3,4,5,6,7,8,9由于元素完全相同的两个集合相等，而 与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同 的列举方法，例如A9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 (2)设方程x2x的所有实数根组成的集合 为B， 那么B0,1 (3)设由120以内的所有质数组成的集 合为C， 那么C2,3,5,7,11,13,17,19变式训练 3 已知集合A小于6的正整 数，B小于10的质数，C24和36的公 约数，Mx|xA且xC，Nx|xB且 xC，用列举法表示M、N. 解：集合A1,2,3,4,5，B2,3,5,7， C1,2,3,4,6,12 (1)xA且xC，x1,2,3,4.M 1,2,3,4 (2)xB且xC，x5,7.N5,7 题型四 用描述法表示集合 【例4】 用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的数； (2)右图中阴影部分的点(含边界)的坐标 的集合(不含虚线)分析：(1)中被3整除的数可表示为3n， nZ；(2)中元素是坐标(x，y)也就是说先 考虑元素是什么，再考虑元素必须满足的条 件解：(1)x|x3n，nZ；变式训练 4 用特征性质描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)坐标平面内坐标轴上的点集；(4)坐标平面内在第二象限内的点所组成的集合；(5)坐标平面内不在第一、三象限的点的集合解：(1)x|x2n，nN (2)x|x3n2，nN (3)(x，y)|xy0 (4)(x，y)|x0 (5)(x，y)|xy0，xR，yR分析：两个集合完全一样，所以元素 也应该一样，不过顺序可以不同根据集 合元素的互异性分类讨论解法一：若a2a，则a0或a1，把 a0或a1代入检验都不满足题意，aa2. 若aab，则b0，把b0代入集合 化为a,0,1，a2，a,0，对比可得a21， a1或a1，而a1不满足题意，a 1. 若a0，代入检验不满足题意 综上：a1，b0，a2006b20081.评析：解决本题的关键是利用集合中 元素的互异性构造方程，再利用集合中元 素的互异性检验方程的解注意含参问题 要分类讨论，分类讨论时一定要注意到所 有的情形整体探究解读题型一 用不同方法表示集合 【例1】 (一题多解)用适当的方法表示 下列集合： 大于3.5小于4.6的整数的全体解法一：列举法 A3，2，1,0,1,2,3,4解法二：特征性质描述法 AxZ|3.56y，这样题目的隐 含条件就被挖掘出来了同理，点(3,2)的坐 标适合关系式(xa)23b6y.解：(2,1)P，(2a)23b6， 即3b6(2a)2. 又(1,0)P，(1a)23b0， 即3b(1a)2. 由、知6(2a)23b(1a)2， 即6(2a)2(1a)2，解得a . 又(3,2)P，(3a)23b12， 即3b12(3a)2. 评析：(1)在解决该题的过程中，使用了 不等式的传递性，即若ab，bc，则ac. (2)应深刻理解以下关系：若点(1,0)的坐 标不适合关系式(xa)23b6y，则必适合 关系式(xa)23b6y，二者必居其一题型三 集合的应用 【例4】 (数学与日常生活)小明一家有 爷爷、奶奶、爸爸、妈妈和小明五口人 (1)写出由小明一家人所组成的集合A， 爷爷、奶奶组成的集合B，小明和爸爸、妈 妈组成的集合C； (2)指出小明和上述集合的关系 分析：本题应先写出集合A，B，C，然 后根据小明与上述集合的关系作答解：(1)A爷爷，奶奶，爸爸，妈妈， 小明， B爷爷，奶奶，C爸爸，妈妈，小 明 (2)小明A，小明B，小明C.