毕业论毕业论文（文（设计设计） ）论文题目：维数变换与问题求解学生姓名：学 号：0905010213所在院系：数学与计算科学系专业名称：数学与应用数学届 次：2013 届指导教师：目 录前言 .11 降维 .11.1 减元.11.2 降次.31.3 空间维数降低.52 升维 .82.1 增元.82.2 增次.102.3 维系增加.113 维数变换在教学中的应用 .123.1 展开 .13参考文献： .15致谢 .16维数变换与问题求解学生：（指导老师：）（淮南师范学院数学与计算科学系）摘 要: 本文结合中学数学教学与解题教学，对维数变换与问题求解，作一较为系统地介绍和深入的研究，达到对其规律性的认识。主要通过升维与降维两个方面来对维数变换来进行研究，以达到解决相关问题的目的。关键词: 降维；升维；维数变换。Dimension transform and Problem solvingStudent:Huang Ziyong(Faculty Adviser：Ping Jingshui)(Department of mathematics and Computing Sciences, Huainan Normal University)Abstract:Abstract: Combining with the middle school mathematics teaching and the problem solving teaching, on dimension transformation and problem solving, introduce a more systematic and in-depth research by dimension reduction and dimension raising, to achieve the understanding of the regularity.Keywords:Keywords: Dimension reduction; Dimension raising; Dimension transformation维数变换与问题求解0前言在中学解题教学中，对维数变换缺乏较为深入系统地研究。在中学数学解题方法中, 维数变换是极其重要的数学思想方法之一。升维和降维是维数变换的分支与拓展，但教材对其介绍和讨论的很少，但解题中经常会遇到需要用升维和降维的思想方法求解。升维和降维都是为了让常规思路下不易解决的繁琐问题简单化。降维的特点在于将高维问题转化为底维问题，使复杂问题变得易于理解；而升维则是将复杂问题置于较大的知识空间中，通过对变量的增加，使问题在这一空间中的关系变得更加容易理解。升维和降维在问题中的形式，主要通过数式及形状表现出来；在数式方面体现1在未知量或次数的增减变化；在形的方面表现为空间维数的变化及其数量关系在横向联系中的不同层次变化。1 降维降维是将一个高维转变成几个低维问题，即应选择几个合适的平面去观察和分析。例如在立体几何与平面几何转化中，对于立体几何中的体对应平面几何中的面，对于立体几何中的面对应着平面几何中的线段，对于立体几何中的线段对应着平面几何中的线段；由于高维问题较底维问题比较抽象、复杂，难于理解，所以通过选取适当看待问题的方式，运用降维的思想将维度降低，这样复杂抽象的问题就变得易于解决；降维的优势在于把在空间中不易被发现的元素间的关系，在二维图中更形象的展现出来，从而使我们能够从简到繁，层层深入的去解决问题。 21.1 减元“元”即元素，是求解问题中的未知量，具有相对性；减元是一种化多为少，化繁为简的重要思想方法。我们经常通过代入法、消元法等，将问题中元素减少，可以更加直观的去解决问题。巧设减元，主要体现在利用待定系数法解决相关问题，根据题目考察的目的，技巧性的使待定的系数尽量减少，不仅可以简化解题过程，而且可以更加准确的解决问题。消元减元，就是在解方程时，一般是通过代入消元法、加减消元法等，使方程的变元逐渐减少，直至化成一元一次或一元二次方程来解决。例如在数列求和中，使用的淮南师范学院 2013 届本科毕业论文1错位相消法，就是根据已知问题的特点进行裂项，转化成递推关系式，然后消去过程中出现的变元，这样可以达到解决问题的目的。例 1：设数列的前项和为(),已知， （1）求数列的nbn Nn12 nbnnnb通项公式。 （2）求。 nlim)21.41 21(13221nnnbbbbbb（1）根据这种递推形式，将含、的关系式在运算过)2(1nssbnnnnbnsn程中出现的中间变量消去，达到减元目的，然后变成的形式。再通过构1211nnbb造得出新等比数列-2，从而可求出=2-。nbnbn)21(（2）原式直接求和很难计算，若将通项拆开成为的形121 121 2121 1 nn nnnbb式，就可以利用错位相消法减元将其化为31)121 31(lim2nn同名异名相互转化减元，有些问题可以用已知结论或公式进行减元。例如在解决关于三角函数问题时，通过正弦与余弦的关系，将问题中出现的正弦转化为余弦或余弦转化正弦，其实这就是将问题中的异名化为同名，即化成一种函数的形式。 3例 2：求方程-+1=0 在实数范围内的解。2y)sin(2xyy解：， 1)sin(xy当时，-，故。0y2y0121)sin(22yyxyy1y当时，-+1，故。0y2y)sin(2xyy0122yy1y所以原方程的解为：,+或者，+。 1yxk223)(zk 1yxk223)(zk 方程(组)中变化的量多于方程(组)个数, 常用方程(组)中元素的关系及其的特殊性进行解决, 这里利用的有界性。)sin(xy变更主元减元，通常把给定的数字或条件作为自变量，其他字母作为因变量，有时若改变常规思维，转换思考方式，可以通过变更主元思考让复杂问题变得更加简单，更易于解决。维数变换与问题求解2例 3：已知实数、满足: , ;证明：xyzkzyx)0(212222kkzyx、都非正数且小于。xyzk证明: 视 z 为常量, kzyx， 2222 21kzyx2222 21zkyx、两式几何意义是直线与圆=有公共点，故有：zkyx22yx 22 21zk 2kz22 21zk 解此不等式, 考虑到,可得,。0k z0k32同理可证: ，。kx320ky320将变量看做常量, 使问题中的变量与常量关系变得简单, 更易于应用熟悉的知识解决, 体现了以守为攻、以退为进的策略。1.2 降次降次就是降低次数，即将问题中的高次幂降为低次幂，常用渠道有两种，直接降次和间接降次；常用方法有利用条件及公式,、利用函数的性质、作变换等进行化简; 从逆向思维角度讲, “反客为主”策略是一种经常使用的间接降次方法之一。利用条件和公式进行降次，即通过对条件或者公式进行变化得到易于解决且不违背已知的公式或性质的特点，可将问题中的高次降为低次进行解决。例 4. 若关于的方程有实根，求实数k的取z0)2sin(sin1cos22kzzz值范围。解：原方程变形为：0sincos22zzz即0sinsin222kzz817)41(sin22sinsin222zzzk 1 , 1sinz淮南师范学院 2013 届本科毕业论文3； 817 41sinminkz时，当, 11sinmaxkz时，当k的取值范围是1 ,817通过对已知函数进行变形，即将问题转化几个因式乘积的形式，或设一个中间变量代入，将问题转换为几个一次次方程进行求解，但进行转化根据实际情况进行。例5. 设为实数, 试求出关于的四次方程 -+-3=0的实数根的围。ky4y22ky2kk2解：将方程转换为关于的一元二次方程即：k03)1 (2422ykykRk =4-4)1 (2y20)3(4y22y,因此方程实根 y 的范围为。22y2,2改变常规思路，将作为主元，将原问题转化为一元二次方程，利用求根判别式k进行判断，从而求出的取值范围。y利用反客为主、以守为攻的思想对所求解的问题进行降次，即通过综合分析法 6将高次方程转化低次方程进行解决。在数学解题中，通过变换思考方式，反客为主，以守为攻，往往能提高解题效率，使问题迎刃而解。例 6解方程组 03343213222babababa )2() 1 (解：由(1)得 312 ab)3(把(3)代入(2)中得:维数变换与问题求解42-3+-4+3-3=02aa2312aa 312a化简得,即 0351342aa0)74)(5(aa , 51a 472a将代入(3),得=3. 51a1b将=.代入(3)，得=. 2a472b23方程组解是：或 。 3511 ba234722ba1.3 空间维数降低研究高维问题时，由于高维问题比较抽象，我们通常采取降维对问题进行研究，包括对维度的降低、次数的降低以及元的减少。对于高维空间通过降低维度，将问题简单化，经常用到的方法有图形的平移、图形的射影、作辅助平面等。几何问题与函数问题转化，实质上就是维度与次数的转换，主要表现在高维与高次、高维与低次以及低维与低次之间的转化。通过维度的转换了解图形运动变化规 14律，能在脑海中形成一定的认识，有利于培养这方面的思维能力，同时对运用函数与几何知识相结合，提炼出联系点，在解决问题方面的能力提