张量分析基础 应力应变分析.张量分析与应力应变分析基础损伤力学基础研究生课程之二任晓丹同济大学建筑工程系October 9, 2014任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析本节主要内容. . .1张量分析基础 笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步. . .2应力应变分析 应力分析 应变分析 应力应变基本方程任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步张量分析基础任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步Tensors are geometric objects that describe linear relations between scalars, vectors, and other tensors.任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot. Albert Einstein任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步概述张量是描述线性关系的一类几何结构，最早可以追溯到高斯 在微分几何方面的开创性工作。 连续介质力学由于其所研究物理量的几何特性，在其理论构 架中也广泛采用了张量表示。 张量具有标架不变性，基于张量定义的规律较容易满足客观 性原理，同时张量表示能够大大简化表述，并且能否清楚的 显示表达式的物理实质。 本课程仅从连续介质力学特别是损伤力学的需求出发，简要 介绍张量的表示方法和性质，作为学习和研究的基础。任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步笛卡尔张量鉴于本课程涉及的理论均建立在正交直线坐标系（笛卡儿坐 标系）内，这里将讨论限定在这一类坐标系内，所涉及的张 量即笛卡儿张量，并不再涉及协变量与逆变量的区分。考虑三维空间中的矢量 u，在基矢量 (e1,e2,e3) 定义的笛 卡儿坐标系内，u 可表示为如下形式:u =3i=1uiei任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步求和约定爱因斯坦求和约定：在同一项内（单项式、乘积式、求导式等） 重复一次且仅重复一次的指标，表示在指标的取值范围内求和。u =iuiei= uieiij,j=jij,j= i1,1+ i2,2+ i3,3任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步坐标变换u = uieiu = uie i任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步坐标变换由于向量（张量）的坐标无关性uiei= uie i uiei ej= uie i ej对于正交坐标系，有ei ej= ei ej= ij, ij= 0i = j 1i = j于是可得如下坐标变换公式ui= uiij, ij= ei ej任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步坐标变换可以证明，坐标转换（系数）矩阵具有正交性ikjk= kikj= ij将向量看作一阶张量，二阶张量 T 的坐标分量满足Tij= ikjlTkln 阶张量 R 满足下述坐标转换方程Ri1in= i1j1injnRj1jn而上述方程，在很多教科书中当作 n 阶张量的定义。任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步张量的运算和性质前述讨论中不加说明地给出了张量的两类表示方法： 抽象表示方法与指标表示方法。 抽象表示更加简洁，而指标表示能够更加清晰地跟踪 张量的运算和坐标变换的过程。 这里采用了以张量抽象表示方法为主的表达方式，同 时在某些时候也借助于指标形式的优点简化相关的运 算和表达式。 本小节中介绍的张量运算，则采用以指标形式定义抽 象算符的基本思路。任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步张量的内积对于两个张量 、 单点积，可以定义为 = i1i2in1inj1j2jm1jminj1= i1i2in1kk j2jm1jm对于高阶张量，经常用到双点积运算。一般存在两类双点积运算 : = i1i2in1inj1j2jm1jmin1j1inj2 = i1i2k1k2k1k2jm1jm .= i1i2in1inj1j2jm1jminj1in1j2 = i1i2k1k2k2k1jm1jm同理，也可以定义高阶张量的各类高阶点积，张量的高阶点积也 可以看作是向量内积的推广。任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步张量的并乘（张量积）n 阶张量 P(n)与 m 阶张量 Q(m)并乘可得 m + n 阶张量 R(n+m)，表示为 R(n+m)= P(n) Q(m)采用指标表示可写为Ri1inj1jm= Pi1inQj1jm例如：u =u1 u2 u3, v =v1 v2 v3u v = uivj=u1v1u1v2u1v3 u2v1u2v2u2v3 u3v1u3v2u3v3任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步指标表示与抽象表示的联系对于矢量 u = uiei二阶张量 T = Tijei ej= Tije i ejTij与 Tij之间满足二阶坐标转换关系，而 ei ej与 ei ej为对应坐标系下的二阶基张量。推而广之，对于 n 阶张量，有R = Ri1inei1 ein任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步二阶实对称张量对于二阶张量 S = Sijei ej，若满足分量取实数值且 Sij= Sji，则称之为二阶实对称张量。二阶张量的特征方程为S n = n or Sijnj= ni整理得3 I12 I2 I3= 0 I1= Skk I2=1 2(SijSij SiiSjj) I3= det(Sij)可以证明：实对称张量特征值为实数，特征向量相互正交。任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步二阶实对称张量将二阶张量分解为球张量 P 和偏张量 D 两部分 S = P + D Sij= Pij+ Dij Pij=1 3Skkij Dij= Sij Pij= Sij1 3Skkij偏张量满足 Dkk= 0，其特征方程为3 J12 J2 J3= 0J1= 0 J2=1 2DijDij J3= det(Dij)上述讨论中给出的 I1，I2，I3，J2以及 J3统称为张量 S 的不变量。任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步哈密尔顿凯莱定理基于内积定义二阶张量的整数幂函数Sn= S S|z n个.定理. .张量的特征多项式也是其零化多项式S3 I1S2 I2S I3= 0根据此定理，可以将张量 S 的高次幂 Sn(n 3) 表示为其低次 幂 (S2,S,I) 和不变量 (I1,I2,I3)。任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步张量的偏导运算针对张量的分量（下标）表示和抽象表示，分别采取以下方式进 行偏导运算：张量对下标的偏导数Ri1i2in,j= xjRi1i2in=Ri1i2in xj引入哈密尔顿算符 = xjej任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步张量的偏导运算张量场的梯度 R = Ri1i2in,jej ei1 ei2 ein R = Ri1i2in,jei1 ei2 ein ej张量场的散度 R= Ri1i2in,jej ei1 ei2 ein = Rji2in,jei2 ein R = Ri1i2in,jei1 ei2 ein ej = Ri1i2j,jei1 ei2 ein1任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析笛卡尔张量 张量的运算和性质 张量分析初步张量场的积分.定理 (向量场的高斯散度定理). . v d =Iv n dS.推论 (分部积分公式). .u v d =Iu(v n) dS u v d上述高斯散度定理及其推论可以直接推广到张量场，当然，很多 细节也需要重新定义和考虑，具体的推导和表达式请参阅教材。 上述张量场积分的性质和变换在之后将起到十分重要的作用。任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析应力分析 应变分析 应力应变基本方程应力应变分析任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析应力分析 应变分析 应力应变基本方程Stress任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析应力分析 应变分析 应力应变基本方程EulerCauchy 应力原理T(n)i= lim s0Fi S=dFi dSlim s0Mi S= 0任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析应力分析 应变分析 应力应变基本方程EulerCauchy 应力原理n= lim s0Fn S=dFn dS = lim s0Fs S=dFs dS任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析应力分析 应变分析 应力应变基本方程笛卡尔坐标系内的应力ij=xxyxz yxyyz zxzyz由于剪应力的互等性，上 述应力张量中的 9 个分量 只有 6 个是彼此独立的， 即：应力张量是二阶对称 张量。任晓丹张量分析与应力应变分析基础张量分析基础 应力应变分析应力分析 应变分析 应力应变基本方程斜截面上的应力 tx= xnx+ xyny+ xznz ty= yxnx+ yny+ yznz tz= zxnx+ zyny+ znz写成张量形式ti= ij nj, t = n斜截面上的正应力和剪应力 n= t n = ni ij