中学 生数 学 2 0 1 2年 1 O月上 第 4 5 1 期( 高 中) 别 势 蛰 = 弗 髻 二-僦谈构 造侈薛越 的 五个 锔度 安徽省枞阳县会宫中学( 2 4 6 7 4 0 ) 来贤良 圆是 中学数学 中一种 简单却又重要 的曲 线 ， 也是 高考 的热 点 内容 在 数 学 问题 中 ， 若 能 充分利用 已知条件 ， 把符合圆特征的命题通过 构造 圆来 解决 ， 常 常可 以避 繁 就 简 、 化 难 为 易 ， 从 而收 到意想 不 到 的 效果 本 文 结合 圆 的常 见 特 征 ， 从 五个 角度 分别 构造 圆 ， 举 例说 明之 1 利用 “ s i n +C O S 口=1 ” 构 造单 位 圆 例1 若直线 +一1 通过点M( c o s ， s i n a ) ， 则 ( ) ( A) a 。 +b 1 ( B) a 。 +b l ( c) + 1 ( D) + 1 分 析 直 线 王 + _ y一 1通 过 点 M ( C O S a ， s i n a ) 直 线土 +_ y一1与 单位 圆 3 2 + ：1有 以0 。 公共 点 圆 心 到 直 线 的距 离 d一 兰= 1 + + 1 ， 选 ( D) 例 2 在 区 间 0 ， 上 ， 关 于 a的 方 程 5 s i n a 十4 1 5 c o s a 十2 1 有 个解 分析 直 接利 用 三 角 函数 知 识 求解 方 程 ， 运算 较为 麻烦 ； 注 意到 s i n 。 a +C O S a 一1的特 征 构造单位圆 ， 则可实现问题的转化 5 s i n g + 4 一J 5 c o s +2 s i n a j c 。 sa + 詈 J 詈 ， 所 以 原 问 题 转 化 为 半 圆 + Y 一1 ( Y0 ) 与绝对值 函 数 y = 十 詈 1 一 图 像 的交点个 数问 题 结合 图形 ， 易 得 交 点 有 1个 ， 即原方程 只有 1 个解 Y 1 图 1 点评两例都利用点( c o s a ， s i n a ) 在单位圆 上 ， 从 而引入 单 位 圆 ， 实现 问题 的有效 转化 2 利用“ ( ) - I- ( ) =n+b ” 构 造 圆 例 3 ( 1 ) 函数 Y 一 3 + + 1 一z的值域 是 ( 2 ) 函数 _2 4 3 + 一5 的值域是 分析 ( 1 ) 注意到( 、 = 千 二 ) 。 +( 、 ) 。 = 4 ， 可 以考虑 构造 圆进行 解题 令 X一 3 +z、 Y一 1 一 ， 则 Y X+Y， 其 f X O ， 中 y O ， 如 图 2 ， l X +Y。 一1 ， 由线 性 规 划 知 识 ， 易 求 图2 得函数的值域为 2 ， 2 ( 2 ) 虽然 ( 、 ， 2 4 3 x ) + ( 一5 ) 并非定 值 ， 但稍作变形 ： 一 3 8 一z+ z 一5 ， 即可 与( 1 ) 类似地构造圆 +Y ：3 ( X0 ， Y0 ) ， 求得 一 _ X+y值域为 ， 2 伺 点评 两 个 问题 还 有 多种 方 法 可解 ， 而利 用构造圆( 换元 ) 的思路将原 问题转化为线性 规 划 问题 来处 理更 易 于理解 。 3 利用“ 圆心 到切线的距 离为半径” 构造 圆 例 4 在直 角坐标 平 面 内 ， 与 点 O( 0 ， 0 ) 距 离 为 1 ， 且 与点 A( 一3 ， 4 ) 距离 为 4的直 线共 有 条 分析表 面 上 看 起 来 是 考 查 点 到 直 线 的 距离 公式 ， 但复杂 的运算令人望 而生畏 ； 细一 琢磨 ， 这分 明是巧借圆的切线性质来考查圆的 基 础知识 ! I 】 p 【 一 1 电 子 邯 箱 z一 n aj n a1 州 路 万 撼 寸 奎学 路 万 德 中学生数学 2 0 1 2年 1 o月上 第 4 5 1期( 高 中) 平 面 内 ， 与 点 0 距 离为 1的直 线 是 单 位 圆 的切 线 ， 与 点 A 距 离 为 4的直线 是 圆心为 A、 半 径为 4的 圆 的切 线 ， 同 时符 合这 两 个 条 件 的直 线 就 是 两 圆 的 公 切 线 Y ) 、 图 3 不难 判断两 圆相 内切 ， 因而公切 线有 3条 例 5 设 直线 系 M ： z c o s +( 2 ) s i n 0 =1 ( 0 2 丌 ) ， 对 于下列 四个命 题 ： ( A) M 中所有 直线 均经过 一个定 点 ； ( B ) 存在定点 P不在 M 中的任一条直线上 ； ( c) 对 于任 意 整 数 ( 3 ) ， 存 在 正 ”边 形 ， 其所 有边 均在 M 中的直线 上 ； ( D) M 中的直线所 能 围成 的正 三角 形 面积 都 相 等 其 中真命 题 的代 号 是 ( 写 出所 有 真命 题 的代 号 ) 分析 因 为直线 系 M 的方 程为 3 2 c o s 0 4 - ( 2 ) s i n 0 =1 ， 所 以点 P( 0 ， 2 ) 到 M 中每 条 直线 的距 离 d一 =： i = 一1 ， 即 M 为 圆 C： d 2 C O S e s i n e +( 一2 ) 。 = = = 1的全体切线组成的集合 ( 1 ) 过 圆外 任 一 点 ， 只 能 作 圆 的两 条 切线 ， 即圆 的任意 三条切 线不共 点 ， 所 以( A) 不成 立 ； ( 2 ) 圆 中任 意一 点都 不 在 切线 上 ， 所 以( B ) 成 立 ； ( 3 ) 因为圆 的任 意 外 切 正 ( ， z 3 ) 边 形 都 是 由圆 的切 线组 成 的 ， 所 以各 边 都 在 直线 系 M 中 ， 即( C ) 成立 ； ( 4 ) 如 图 4 ， 由 M 中 直线 所 围 成 的两 个 正 三 角形 ABC、 C DE， 其 面积 并不 相等 ， 所 以( D) 不成 立 综 上 ， 真 命 题 的 代 C 直线 是 定 圆 的切 线 ， 深 入 挖 掘 这 一 背 景 ， 是 以 上两例 得 以成功 实现转 化 的关键 4 利 用 “ 对 角 互 补 的 四边 形 有 外 接 圆 ” 构 造 圆 例 6 点 P( z 。 ， 。 ) 为 圆 0： + 一r 外 一点 ， 过点 P作 圆 0 的两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 A、 B， 则 直线 AB的方 程为 分析 如 图 5 ， 由条 件有 O AP一 OB P= ，所 以 0， A， P， B 四点 己 共 圆 ， 设 为 圆 C 因此 ， 直 线 AB 的方 程 就 是 网 ( ) 与圆 C 的公 共 弦所 在 的 直 线方 程 y 图 5 P 易 求 网 C的 方 程 为 z一 ) z + ( y ) z 一 ，将其 方程 与圆 0 的方 程相 减 即 得公 共 弦 AB 的方程 ： lz 。 z+ 。 二 = = r 点评本题 中求直 线 AB方 程 的方法 并不 唯一 ， 但上 述思 路更 为平实 与简捷 5 利 用伸缩 变换 ， 变椭 圆为 圆 例 7已知椭 圆 c： 4 - 。 一1的两 焦点 为 一2 F 、 F 2 ， 点P ( x 。 ， ) 满足 0 1 ， 即得 直线 z ， 与 圆 Cl 相 离 ， 故直 线 z 萼 + 黪 与椭圆 C相离 点评研究直线与椭 圆的位 置关系时， 可 围 ， 这 就 是 方 程 函数 的思 想 在 解 题 中 的应 用 但本 题往 往容 易遗漏 m一 一 q - 的特 殊情形 0 方 法 四、 线性 规划 法 分 析这 种 方 法 对 同 学 们 现 在 来 说 有 些 超 前 ， 不 过也 没 关 系 我们 知道 ， 直 线 Z 上 的点 的坐标 一定 是 直线 z对 应 方 程 的解 ， 直 线 z 外 的点 的坐标 一定 不 是 直 线 z 对 应 方 程 的 解 ， 通 过尝试 探究 ， 我们 还会 发现 ， 把直 线 z 两侧 的 点 的坐标 代人 直线 z 对 应方 程左边 的代数 式 所得 的值 一定 是一对 异号 的值 由直线 z 与线段 AB 相交 可知 ， 点 A， B分别 在 直线 z 的 两侧 或分 别 在 直线 Z 上 ， 列 出不等式 再求解 解因为 直 线 z与线 段 AB 相 交 可 知 ， 点 A， B分别 在直 线 z的两 侧 或分 别 在 直 线 z上 ， 点 A， B 的坐 标使 得 直 线 z 对 应 方 程左 边 的代 数 式异号 或等 于 0 ， 从 而有 ： ( 一 2 m+ 3 + 2 ) ( 3 m+ 2 + 2 ) O， 即( 2 m一5 ) ( 3 m+4 ) 0 ， A 解得 m 或 忉一 厶 。 所 以 m 的取值范 围为 匕 ( 一C 3 ， 一 U ， +C 3 ) 0 厶 引 申 此 类 问 题 还 可 以 进 一 步 引 申 为 ： “ 过 定点 的直 线 与 已 知 线 段 相 交 ， 求 过 定 点 的 直 线 的斜 率 与 倾 斜 角 问题 ” 同 学 们 仿 上 述 解 法 进行探 究 ， 相信你 一定会 顺 利求解 ( 责 审 余炯 沛) “卜 一 + +” 卜”- 4 - 十一 +” 卜” +- ” 卜 “+一 卜” - 卜 “ 卜 以通 过伸 缩 变 换 将 其 转 化 为 直 线 与 圆 的 位 置 关 系来处 理 ( 这 个 变 换 是 一 一 对 应 的 ， 从 而 保 证 了两个 图形 在 变 换 前 后 的 交 点 个 数 不 发 生 改变) ， 使问题得到转化解决 ， 避免了较为繁琐 的计算过程， 从而化繁为简、 化生为熟 ( 责审 曹付 生) i n t1 2 et。 鲞