原创性声明本人声明:所呈交的硕士学位论文，是本人在指导 教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文 中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中己明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由 本人承担。学位论文作者签名日期:年对权 月日关于论文使用授权的说明本人同意学校有权保留并向国家有关部门送交学位 论文的复印件，允许论文被查阅和借阅。同意学校及国家有关机构可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。论文作者签名指导教师签名:日期:日期:致谢手捧着散发墨香的论文，心中感慨万千，它浸住了太多人的心血与汗水.终 于可以借此机会向曾经帮助和关怀过我的老 师和朋友们由 衷的表达心中的感激.衷心的感谢我的导师宋立新教授，本文是在他的悉心指导下完成的.在大学 本 科四年和研究生两年的学习生活中， 宋立新教授严谨的治学态度将使我终生受 益，他的淳谆教导我将水远铭记在心，激励我在今后的学习和工作中不断进取. 宋老师坚定正直的人格魅力也深深的感染了我，为我树立了今后做人的榜样.感谢杨晓云教授对我的热心指导和关心 杨老师一丝不苟的科研精神和坚韧不拔的毅力给我留下了深刻的印象，她是女中豪杰，巾帼英雄，是我以后学习的偕模，感谢赖民老师，感谢赖老师对我的大力帮助，感谢他为我提供的方便.感谢黄晓薇师姐，感谢她在百忙之中对本文的审阅与指导.感谢数学系资料室和机房的各位老师提供的方便和热心的帮助.感谢诸位同窗对我学业上的启发以及生活上的帮助.感谢养育我的父母，是他们在背后给我以默默的支持.纵是千言万语也不能表达我心中的感激之情.再次向各位老师和朋友表示诚挚的感谢.提要本文研究了几何分布定时截尾寿命试验， 给出了总试验次数的 极限 分布， 利用枢轴量法给出了 失效率的 近似置信区间 、 近似置信限 . 在求 近似置信区间时由于所构造的枢轴量过于复杂， 不能直接从枢轴量中反 解出失效率， 所以本文利用失效率的极大似然估计将枢轴量中的部分参 数代换掉，从而减化了计算. 关键词: 定时截尾寿命试验， 几何分布， 渐近正态分布， 近似置信区间.几何分布定时截尾寿命试验失效率的近似置信区间几何分布定时截尾寿命试验失效率的近似置信区间 1 引言几何分布是离散分布中具有” 无记J忆 性”的唯一分布，它与连续型的指数分布相似. 因此对指数分布的某些研究同样也可以平移到几何分布上.指数分布可以很好地用来描述某些电子元器件的寿命 为了研究产品的失效机理以便对提高产品可靠性提出建议， 常常需要进行寿命试验 寿命试验按样品的失效情况可以分为两类: 完全寿命试验和截尾寿命试验. 完全寿命试验要进行到投试样品全部失效为止， 统计结果较为可靠. 但是这种试验常常需要较长时间.然而， 在工程与生物医学的许多 研究中， 由干种种条件的限制不可能获得完全样本. 所以在一般情况下 ， 完全寿命试验难于采用 而更经常采用的是截尾寿命试验. 截尾寿命试验又可 分为两类:定时截尾寿命试验和定数截尾寿命试验在指数分布场合定时截尾寿命试验是常用的寿命试验之一，有很 多 人 研究 过 这 类 试 验图，间， 特 别 关 心 各 种 可 靠 性 特征 量 的 置信区 间的获得.尤其是失效率的近似置信区间的获得. C o x 首先看到议个第 I 页盆必走了 硕士学位论文问 题 的 困 难 ， 他 在1 9 5 3 年 建 议冈用扩( 2 r + 1 ) 来 近 似g a s 的 分 布 其中A为失效率，r 为失效数，S为总试验时间. 对 C o x的建议至今尚末 给出 严洛 的证 明， 至 今 使用尚 不 普遍.B a r t h o l o m e w 4 在1 9 6 3 年 曾获得 B的极大似然估计 B的精确分布由于过于复杂而不能使用， 虽然B a r l o w等人在 1 9 6 8 年对其给出求置信区间的计算程序，使用的人也不多. 于是人们转向大样本方法. 首先想到的自 然是极大似然估计B 的渐近正态性. 由 此得到的置信区间只能在样本容量相当大时才可使用， 在中小 样本 场合 其 近 似都 较为 粗劣. 此 后S p o r t t i 在1 9 7 3 年 提出 一种 近似方法， 即 使在小样本场合， 其近 似程度也不错. 王宏( 1 9 9 6 ) 在 5 中 对指数分布混合寿命试验给出总 试验时间的分布表达式， 还是显得表达式复杂和计算量大， 虽备有专用软件， 仍会有不便之感， 且计算过千复 杂将会导致最后结果仍然是近似的 .最近刘宝友等 ( 1 9 9 9 ) 通过获得总试验时间的渐近正态分布， 从而对指数分布失效率给出近似置信区间. 但是由于枢轴量过于复杂， 不能直接从枢轴量中反解出失效率，这就造成了计算的复杂性.本文是基于以上， 通过对离散型寿命分布为几何分布的研究， 用一种新的试验方案获得失效率的近似置信区间. 此方法在大数定律的保障下， 用极大似然估计将复杂枢轴量中的某些参数代换， 由此使计算变得简单， 从而就很容易得到失效率的近似置信区间.本文的安排如下.我们先在第二节中考虑在几何分布定时截尾寿命试验中总试验次数的均值， 方差. 给出总试验次数的极限分布， 求出失效率p的近似置信区间与近似置信限.在第三节中进行随机模拟与讨论.第 2页几何分布定时截尾寿命试验失效率的近似置信区间 2 主要结果2 . 1 问题的提出许多寿命为离散型的产品， 其寿命服从几何分布， 对几何分布的可靠性分析具有理论和实际应用价值. 失效率是可靠性的一类重要指标.本文试图获得总试验次数的渐近正态分布 从而对几何分布失效率P 给出近似置信区间 其他可靠性特征的近似置信区间也随之可得.设产品 寿命石 服从如下的几何分布P ( 二 k ) 二 ( 1 一 P ) k - 1 A其中k二1 , 2 ， 二 ，0k o( 2 . 1 )其总试验次数为S ( k o ) =S 1 ( k o ) +S 2 ( k o ) +S , ( k o ) .2 . 2 凡 杨 ) 的 分布函 数很 显 然 ， 我 们 在 进 行 定 时 截 尾 寿 命 试 验 时 ， 样品 的 试 验次 数S 1 ( k o ) , S 12 ( k o ) ,S( k o ) 是 独 立同 分布 的 随 机 变 量. 如 果 记其 分布函 数为G ( k ) , 则 在k 0 时 有G ( 劝.- _ P ( 又( 场 ) k o )第 3 页专稼走犷 硕士学位论文由( 2 . 1 ) 可 知、上 式第一项为P ( S k ( k o ) k o了.万J、1.、-上式第二项为P ( S k ( k o ) k o ) 二 P ( k o k o )( I 一 P ) “P ,0 ,k k ok k o = E G j f k k o )i P ( 氛=i ) +k O P ( Gk o )i P ( k =i ) +k o 1 一P ( G ka = E 2 1 A - k o + k o P ( G k o )k o k o一 ) j l ( i 一 ， )一 ; + Q 10一 艺( i 一 ， ) 一 ， i= 1k n - I、 i= lk o - I 一 Y : ， ( 一 A 1- 1， +k 2p + k o - i = lE k 2 (lo 一 功 一 p第 5 页苦森走了 硕士学位论文k o 一 I 二 艺( ，i = l一 k 2 ) ( 1o 一 P ) i - , p +ok 2， 1 一 P = j 十一十2 ( 1 一 p ) l 一 ( 1 一 ， ) k o - 1 1p 2( 2 k o 一 1 ) ( 1 一 P ) k up其中方差为V a r S k ( k o ) = E S k ( k o ) 一 !E S k ( k o ) 1 2， 1 一 P。 二 二 : 上 十十2 ( 1 一 p ) 1 一 ( 1 一 P ) k 0 一 Ip 2 ( 2 k 。 一1 ) ( 1 一 P ) k op一 1一( 1 一 P ) 2 ( 1 一 ( 1 一 p ) k 0 一 1 2p 2 2 ( 1 一 p ) 1 一 ( 1 一 p ) k o - 1 1P( 1 一 p ) l 一 ( 1 一 p ) 2 1 D - 1 一p 2( 2 k o 一 1 ) ( 1 一 p ) k op( 2 .4 )2 . 4 S A) 的极限分布由 于 各 个系 统的 试 验次 数S , ( k o ) , 5 2 ( k o ) , . ， 布 的 有 界 随 机 变量 . 所以 由 中 心 极 限 定 理6 知 道， 验次数S ( k o ) 近似服从正态分布， 即凡( k o ) 是独 立同 分当几很大时，总试S ( k o ) 一 E S ( k o ) 二一 、_ ( 1 一v ) ( 1 一( 1 一77 ) k o - i 1 ,n 姚k o ) 一n ( 1 +一)p V a r S ( k o ) !业- p ) 1 业- p )2ko士p (2 k o - 1 )上p M ap v ln- ( S ( k o ) p 一 p 一( 1 一 p ) 1 一 ( 1 一 p ) k “ - ) ( 1 一 p ) 1 一 ( 1 一 p ) 2 一 卜 p ( 2 k o 一1 ) ( 1 一 p ) k o第 6页几何分布定时截尾寿命试验失效率的近似置信区间上 式 近 似服 从标 准正态 分布N ( 0 , 1 ) 其中S ( k o ) =S ( k o ) / n 是系 统的平均试验次数，2 . 5 失效率p的近似置信区间与近似置 信限为了利用标准正态分布获得夕的近似置信区间， 我们 把上式右端看作枢轴量，即令H( p )S ( k o ) p 一 p 一 ( 1 一 p ) i 一 ( 1 一 W0 - 1 ( 1 一 p ) 1 一( 1 一 p ) 2 k 0 - 1 一 p ( 2 k o 一 1 ) ( 1 一 A “ .3 ( k o ) p + ( i 一 p ) 0 一 1 = 、 1 - p - 币 . - p ) U - - p ( 2 k o - 1 ) ( 1 - p ) 4 .但是上式的枢轴量过于复杂， 将会给计算带来很大的麻烦， 所以我们准备 将 其中 的 部分p 用极大似然估计来代替. 下 面求p 的 极大似然估计，设 L是样本的似然函数， I n L为对数似然函数样本的似然函数为L 一 H ( 一 ， )。 一 P I S ko i I E . ko 艺r e, k )l第 7 页盆 森 走 犷 硕士学位论文为r 寻求p 的极大似然估计， 我们对对数似然函数求导， 并令其为零，如此得到的方程称为似然方程.即8 I n LO P艺 S i 一 1 ) I i k. j 二匕一-一一-一一一一一一 1 一夕艺I . + 艺嘛、 1 1 =1 i =11 一 p一 “了一 化简上式( 一 ， ) Ell m 5 ko l = ， 又M 一 ) 1 & S ko + k o l k o ) i= 1ni= 1n 艺1 & k. 1 1从上述方程中可解得户 n #i k01 户 二 一- 一= 1 一 一 一 一艺lW &