理解，但无论你如何解释，这只是对数学归纳法思想的一个直观认识，它决不能替代其丰富的理性内涵学生也因此被稀里糊涂地带进了模仿操作的怪圈里，学生对它的掌握仅仅停留在被称作“表象” 的水平上，还并没有真正掌握因此，对于直观的东西应用一定要适可而止，少了，会降低理解上的难度，多了，会抑制数学思维，只有恰到好处，才能发挥它的应用作用最后，如果因为教师自身感到某个数学本质不好解释、不自然，所以就放弃对它的诠释，那就放弃了一次让学生真正体验“数学化” 思想的历程，学生也就失去了一次数学理性思维提升的过程课堂上，教师应该展示数学归纳法的形成过程，让数学归纳法的原理水到渠成在教学过程中让学生学到的不仅仅是形式和抽象的理论，而是让数学归纳法的思想真正走入学生的内心世界总之，课堂教学既是一门学问，也是一门艺术衷心愿我们的课堂教学真正做到远离浮躁，回归本质参考文献 许晓天提炼问题，理性分析，整体设计 对“数学归纳法”评课中问题的反思中学数学教学参考，（）： 单墫普通高中课程标准实验教科书：数学选修 （苏教版）南京：江苏教育出版社， 单墫高中数学教学参考书：选修 （苏教版）南京：江苏教育出版社， 李善良学习与评价 高中数学选修 南京：江苏教育出版社， 陈云平数学教学应是数学本质的教学中学数学教学参考，（）： 马茂年，俞昕课堂教学回归“数学化”的讨论和分析数学教育学报，（）：作者简介 曹军， 年出生，中教二级主要从事高中数学教育教学，研究方向为课堂教学研究，中学数学解题研究发表论文近 篇从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导浙江省湖州市第二中学 俞 昕近期观看了科幻大片星际穿越，影片中出现了虫洞、黑洞、第五维空间等一些星际概念，让人感觉宇宙中充满了奇妙的变换宇宙的研究当然离不开数学，数学是一切自然科学之王，而数学中也充满了各种奇妙的、令人着迷的变换三角变换就是其中之一，有些人认为三角学是古老的数学，应该弱化但从现行高中数学教材来看，仍是对三角学比较重视，确实三角学属于经典数学中的知识，之所以经典有其原因所在，三角学中的各种变换蕴含了丰富的数学思想，是开启学生数学智慧之门，引起学生数学探究欲望的良好素材数学变换方法有着深刻的哲学思想基础，这是因为辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化由于数学变换方法充分体现了联系、运动、转化的观点，它对数学教育研究必然是有启发性的下面以“两角差的余弦公式” 推导为例，从变换的视角赏析其生成方式 公式推导前奏 两锐角差的余弦公式从学生认知特点的角度出发，从特殊到一般是比较符合学生认知规律的所以一般可以考虑从两锐角差的余弦着手，比如（ ）？ 有各种变换方法可以求出此三角函数值 数学动手实验中的变换明代学者与军事家王守仁说：“知是行之始，行是知之成” 而陶行知老先生说：“行是知之始，知是行之成”“墨辩” 提出三种知识：亲知、闻知、说知亲知是亲身得来的，就是从“行” 中得来的，闻知是从旁人那儿得来的，或由师友口传，或由书本传达说知是推想出来的知识陶老先生拿“行是知之始” 来说明知识之来源，并不是否认闻知和说知，乃是承认亲知为获取一切知识之根本闻知与说知必须安根于亲知里面方能发生效力古今中外第一流的真知灼见无一不是从“做” 中得来，也就是说“教学” 要以“做” 为主浙江省高中数学特级教师冯寅老师也曾经强调“动手” 与图 “动脑” 并重的观点我们可以尝试让学生在动手操作数学实验的过程中推导出两锐角差的余弦公式（） 你能用这两块三角板（如图 ） 拼出哪些角度呢？（） 你能用它们拼出 中学数学杂志 年第 期 的角吗？（） 你能否利用所拼出的图形（如图 或如图 ）求出 的值呢？（） 若将上面的 和 角分别改成锐角 和，那么会有怎样的结论？ （ ） ？图 图 物理学做功中的变换正如文首提及的影片星际穿越 中诸多的数学变换，物理学中蕴含着丰富的数学变换我们可以探寻高中学生熟知的物理知识，挖掘其中“两锐角差余弦公式”下面以物理学中“做功” 为例尝试让学生挖掘出其中“两锐角差余弦公式” 的模型如图 所示，一个坡度为 的斜坡已知作用在物体上的力 与水平方向之间的夹角为 ，且大小为，在力 的作用下，物体沿斜坡运动了，求力 作用在物体上的功 图 图 学生很快就分析出 （ ） ？ 学生由此做功问题提炼出图 所示的“两锐角差余弦公式” 的模型，其中 ， ， ， 不妨设 ，则可以迅速求出 将特殊角替换成一般角便可以得到两锐角差的余弦公式 （ ） 其间也涉及到一些学生已经学过的三角变换，在推导新公式的同时，也是对之前三角变换知识的回顾与应用因此，这种推导方式可以让学生从实际问题情境中提炼出两锐角差的余弦公式的模型，感知数学知识来源于实际，运用于实际，自然界万事万物中都蕴含着丰富的数学变换 三角起源弦图中的变换公元 世纪末，亚历山大数学家帕普斯在数学汇编 中给出命题：如图，设是以为直径的半圆上的一点， 是半圆在点 处的切线， 和 为的垂线，、是垂足，则（ ） 认识“弦图”，从平面几何中发现两锐角差的余弦公式图 图 可以为学生搭建脚手架： （） 如图 所示， 设 ， ，试用 、 表示 ；（） 不妨设 ， 试用线段（比） 分别表示 、 以及（ ）；（） 试探究（ ） 与 、 的关系以上的推导过程体现了数学是一种文化，在教学过程中适当的融入数学史知识，让学生寻求数学进步的历史轨迹，领会数学的美学价值，提高学生的数学文化素养三角学的历史源远流长，起源于天文观测和历法推算，是几何问题代数化的典例在教学过程中，如果融入三角学的历史知识，引导学生了解三角学的发生发展历程，使学生在探究活动中不仅知其“源”，而且知其所原，则既能使教学充满浓郁的文化气息，又能随数学的发展而与时俱进此外，古埃及天文学家托勒密利用两角和、差的三角关系绘制了现存最早的三角函数弦表，在天文学和测量计算中有很重要的应用制作弦表的原理如图 所示此原理与人教 版上的方法（如图 所示） 有异曲同工之妙图 图 面积中隐含的变换数学的魅力在于他能让人惊叹于数学的各种奇妙的变换，一个普通的图形当中竟然也能蕴藏着“两锐角差的余弦公式”，如图 所示通过简单的三角形等积就可以非常简单的得到“两锐角差的余弦公式”图 中学数学杂志 年第 期 此种变换还有很多，在此不一一举例这是让学生体验数学魅力的良好素材，新课程改革大力提倡选修课程的开发与开设，而一线的很多数学教师却苦于没有好的素材，其实，好的素材“远在天边近在眼前”，我们的教材中就蕴含着丰富的素材就以“两角差的余弦公式” 为例，我们可以将其推导过程开发成一堂或是一系列选修课程，作为必修课程的选修化，既能拓展学生的数学视野，也能激发学生数学探究的热情也可以将这些素材开发制作成微课，通过翻转课堂的形式让学生进行自主探究或合作探究，撰写有关“两锐角差的余弦公式” 的数学小论文，用足教材中的内容，也迎合高考“源于教材，高于教材” 的精神 角度范围推广 两任意角差的余弦公式在学习三角函数的初始，学生首先遇到的问题就是将初中里的特殊角推广到任意角，如何推广？ 那便是引进直角坐标系 诱导公式的化角变换笔者觉得在三角的教学中，有些教师往往忽视“诱导公式” 的强大功能，只是单纯让学生记住“奇变偶不变，符号看象限”，会熟练的运用诱导公式解题就可以了殊不知蕴含于诱导公式中的数学本质是“化角变换”，将任意角通过诱导公式转化为 之间的角，再进一步将 之间的角转化到 之间的角，所以“两任意角差的余弦” 肯定可以通过诱导公式转化为“两锐角差的余弦”（轴线角可以单独验证）因此，从诱导公式化角变换的角度来看，问题可以得到合理的解释 旋转中的变换人教 版选修 矩阵与变换 介绍了旋转变换如图所示，在直角坐标系内，作单位圆，设图 、 角的始边都为 、终边分别交圆于 、 这时，得到两 点 间 的 坐 标 分 别 为（，），（，）由两点间的距离公式，并整 理 得 （ ）再以 为横轴，建立新的直角坐标系 ，使其单位长与原坐标系相同在新坐标系中两点坐标为 （ ），（ ），（，）同样，由两点间的距离公式，并整理得 （ ），由 便可得两任意角差的余弦公式有心的老师一定还记得人教社全日制普通高中教材中也是运用类似的变换来推导“两任意角差的余弦公式” 的只不过不是旋转坐标轴，而是旋转点（在此不累述，详见人教社全日制普通高中教材）旋转变换是相对的，数学中很多问题通过旋转变换可以得到快速解决，比如可以用旋转变换求 ，运用如图 所示的旋转变换可以很快得到结果图 向量中的变换向量是联系代数、几何、三角的桥梁，是现代数学中必不可少的工具，它可以使一些复杂问题简单化，因为它插上了数形结合的翅膀人教 版教材有意识地将三角恒等变换 置于平面向量 之后，并且运用向量数量积运算简洁证明了“两任意角差的余弦公式”，让人耳目一新此证明过程中的叙述看起来很浅显，论述也不深奥，但它是以运动的、变化的观点来研究数学问题这种证明方法不但能促进学生数学认知结构的发展，而且能够帮助学生逐步学会用辩证法的观点来思考问题、分析问题和解决问题因此，教师可以好好利用向量变换引出来的结果（两任意角差的余弦公式） 帮助学生形成更高层次的数学认知结构 结束语有些教师认为两角差余弦公式的推导过程不重要，重要的是公式的运用但我们从上面各种变换的角度赏析两角差的余弦公式，发现公式推导的各种变换中蕴含着丰富的数学思想若是在公式推导环节，教师舍得不吝啬时间，浓墨重彩的画上靓丽的一笔，想必会给学生留下“数学是有趣的、是美丽的、是有用的”这样美好而又深刻的印象参考文献 张维忠，宋秀红略论数学变换方法对数学教育研究的启示数学教学研究，（） 陈清华，徐章韬既基于历史，又与时俱进高观点下的“两角和与差的正、余弦公式”教学设计中小学数学，（）