高等数学(二) 练习题 第 1 页 高等数学高等数学(二二) 练习题练习题 一、填空题（5 题）一、填空题（5 题） 1(1)直线过点，且与平面)3,2,0(014=+zyx垂直，则该直线的方程是 (2)平面过点，且与直线)2,0,1(33 12 41 +=+=+zyx垂直，则该平面的方程是 2(1)设曲面上点3222+=yxzP处的切平面平行于平面0742=+zyx，则点P的 坐标是 (2)设曲面上点222yxz=P处的法线于垂直平面0142=+zyx，则点P的 坐标是 3(1)设：，在上连续，且 ，则 D122+ yx),(yxfDdyxfxyyxfD+=),(1),(=dyxfD),(2)设：D20, 10yx，在上连续，且 ，则 ),(yxfDdyxfxyyxfD+=),(),(=),(yxf(3)设：10, 10, 10zyx，则= dvzxy31 21 (4)设：D10, 10yx，则 =+deyxD4(1)设曲线L：上任意一点处的质量密度，则该曲 122=+ yx1)(),(2+=yxyx线构件的质量=M (2)设椭圆L：12322 =+yx的周长为，且椭圆aL上任意一点处的质量密度为高等数学(二) 练习题 第 2 页 132),(22+=yxyx，则该椭圆构件的质量=M (3)设曲面片为圆柱面上122=+ yx30 z部分，它的面密度为2+=yx，则该曲面片的质量=M 5(1)幂级数 1021+=nnnx 在上的和函数)2,2(=)(xs (2)幂级数 =04) 1(nnn nx在上的和函数)4,4(=)(xs (3)无穷级数125( )3nn=的和S = . 二、单项选择题（5 题） 二、单项选择题（5 题） 1(1)设1,3,1=a?，则与向量1,1,2 =b?a?，b? 同时垂直的向量为（ ） A . ； B . 7,3,2 7,3,2； C. ； D. 7,3,27,3,2. (2)设1,3,2=a?，则3,1,1 =b? )(ab?=a?（ ）. A . ; B . 1,5, 81,5,8; C. ; D. 1,5,81,5,8 . (3)设a，c为非零向量，则下列结论中一定正确的是（ ）?b? A . 若caba?=，则； B . 若cb?=caba?=，则cb?=； C. abba?=； D. abba?=. 2(1) 设 ，则 dyxedxyedzxyxy+= yxz2 （ ） A . ； B. ； C. ； D. xyey2xyexy)1 ( +xyex2xyxe(2)设 ，则 )sin(xyz = yxz2 高等数学(二) 练习题 第 3 页 3(1)二元函数的驻点是（ ）. 22242),(yxyxyxf=A .; B. ; C. )1,1()1,1 ()1,1(; D. )1,1 (2)设，0),(00=yxfx0),(00=yxfy，则（ ） A . 二元函数在处连续； ),(yxf),(00yxB. 二元函数在处的全微分为零； ),(yxf),(00yxC. 为二元函数的极值点； ),(00yx),(yxfD. 为二元函数的驻点 ),(00yx),(yxf(3)若xyz =，则下列结论中错误的是（ ） A . 二元函数xyz =在处连续； )0 , 0(B. ，； 0)0, 0(=xf0)0 , 0(=yfC. 0)0, 0(=dz； D. 为二元函数的极值点 )0 , 0(),(yxf(4)设二元函数可微，若为的极值，则（ ） ),(yxf),(00yxf),(yxfA . 必为的极值； ),(00yxf),(0yxfB. 必为的极值； ),(00yxf),(0yxfC. ，0),(00=yxfx0),(00=yxfy； D. 以上结论都是正确的 4(1)改变二次积分的积分次序：=xxdyyxfdx),(10（ ） A. ； B. ； 1112),( ydxyxfdy1102),(2 ydxyxfdyC. ； D. . 2011),(ydxyxfdy2010),(2ydxyxfdy(2)改变二次积分的积分次序：（ ）. =1102),( ydxyxfdyA. xdyyxfdx 010),(; B. ; 2010),(xdyyxfdxC. 110),( xdyyxfdx; D. . 1102),( xdyyxfdx高等数学(二) 练习题 第 4 页 5 (1)若对于xoy平面上的任意简单封闭曲线L， 总有0)4()6(22=+Ldyxybxdxayxy成立，则（ ） A . ； B. 3,2=ba3,2=ba； C. ； D. 3,2=ba3,2=ba (2)若曲线积分在+ Ldyxbxydxyaxy)()2(22xoy平面上与路径无关，则（ ） A . ； B. 4,2=ba4,2=ba； C. 4,2=ba； D. 4,2=ba (3)若为全微分方程，则（ ） 0)2()2(22=+dyxybxdxxyayA . ； B. 1,1=ba1,1=ba； C. ； D. 1,1=ba1,1=ba 6(1)以下计算中，正确的是（ ） A二重积分； 222222222)(RRdxdyRdxdyyxRyxRyx=+ +B三重积分322222 34)(22222222RRdvRdvzyxRzyxRzyx=+ +； C曲线积分RRdsRdsyxRyxRyx2)(2222222222=+ =+=+； D曲面积分222222)(22222222)(RRdxdyRdxdyzyxRzyxRzyx=+ =+=+外侧. (2)以下计算中错误的是 ( ) 2222222222:,34)(.RzyxRRdvRdvzyxA+=+ 其中； B222242222:,4)(RzyxRSdRSdzyx=+=+ 其中； C222:,2RyxLRsdL=+=其中； ,0011. 22=+= + DLLdydxRdydxRyxdydxD 其中 222222:,:RyxDRyxL+=+高等数学(二) 练习题 第 5 页 7(1)下列级数中，收敛的是（ ） A=11nn； B=+112nnn； C?+3001. 0001. 0001. 0; D?+ + + +43243 43 43 43 (2)在下列级数中，发散的是（ ） A=11) 1(nn n； B=+11nnn； C=131nnn; D?+44332243 43 43 43 (3)下列级数中绝对收敛的是（ ）. A. 12) 1(1+=nnnn; B. 121) 1(1+=nnn; C. 2 1) 12() 1(+=nnnn; D. 2 1) 12(1) 1(+=nnn. 三、(1)三、(1)设 ，求，xyzez=dzyzyxzx. (2)(2)设方程确定了函数0),(2222=yzxzf),(yxzz =,其中有连续偏导数，证明 f1=+yyxxzzzz 四、 （1）四、 （1）计算曲线积分sdxy L )1 (，其中L为,三点所成的 )0, 0(O)0,1(A)1,0(B三角形的整个边界. （2）（2）计算曲线积分，其中dsez为螺旋线tztytx=,sin,cos)20( t的一段. 五、（1）五、（1） 利用格林公式计算曲线积分， 其中+ Lyydyxxedxyxe) 13sin()cos(L为的左半部分，从到. 122=+ yx) 1 , 0(A)1, 0(B（2）（2） 利用格林公式计算曲线积分，其中+ Lxxdyxyedxey)(2) 1(2L为 1) 1(22=+ yx的上半部分，从到)1,1(A)1,1(B. 高等数学(二) 练习题 第 6 页 六、 （六、 （1）计算曲面积分，其中 +zdSyx)(22 为上半球面221yxz= （2）计算曲面积分+dSz41，其中 为旋转曲面（） 22yxz+=10 z（3）计算曲面积分，其中 +dSyxz)(22 为圆锥面22yxz+=( ) 10z（4）计算曲面积分，其中 +dSzy)( 为平面1=+zyx在第一卦限的部分 七、 （七、 （1）计算曲面积分 dxdyyxzdzdxyzydydzxzx)(3)()(2233+ ， 其中为圆锥面22yxz+=与平面1=z所围圆锥体的全表面外侧 （2）计算曲面积分 dxdyyxzdzdxxeydydzyexzz)sin(sin)sin()sin(+ ， 其中为圆柱面与平面122=+ yx0=z，1=z所围圆柱体的全表面外侧 （3）计算曲面积分 dxdyxyzdzdxzxydydzyzx222+ , 其中为立方体 10 ,10 ,10zyx 的全表面外侧 （4）计算曲面积分，其中+=dydxzdxdzydzdyxI 是曲面 22yxz+=) 10( z的下侧 八、 （八、 （1）判定级数 )11ln() 1(11=+nn n是否收敛? 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? （2）判定级数 (=+111) 1(nnnn) 是否收敛? 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? （3）判别级数=111 32) 1(nnnn的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛. 九、 （九、 （1）求幂级数nnnxn)2(50=的收敛区间 （2）求幂级数nnxnn) 1() !( )!12(12=的收敛区间 高等数学(二) 练习题 第 7 页 十、 （1）十、 （1）将函数 ) 展开为2