10.2 平方反比引力场中的运动平方反比引力场中的运动 以行星在太阳的万有引力场中运动为例进行 推导和阐述, 其结论具有普遍性. 一般解质点动力学问题的最终目的是求出质 点的运动学方程， 然而求运动学方程积分比较困 难, 我们暂且避开这一难点, 先解决运动轨道问 题, 和通过两个守恒律得出有关重要结论. 一、从平方反比引力求轨道一、从平方反比引力求轨道 根据比尼公式直接写出质点的轨道微分方程 2 22 22 ddGMmuuuumh= +化简后得(线性方程) 222dd hGMuu=+此方程的通解为 ()02cos +=AhGMu其中A和0为积分常数(h与初值有关). 上式也可写成 () +=022cos11GMAh hGM r引入 GMhp2 =, GMAhe2 =则轨道方程成为 ()0cos1 +=epr可知轨道为圆锥曲线, 根据e的大小可确定轨道为 双曲线或抛物线或椭圆. () ()200 cos1sin dd +=eper可见当0 =时, r取极值, 轨道上r取极值的点称 为拱点. 如把指向拱点的直线作为极轴, 则 00=. cos1epr+=两个常数p和e由初始条件确定，也可由总能 量和角动量(两个守恒量)确定. Lmhmr=2,GMhp2 =则 22GMmLp =, p由角动量由角动量L决定决定. rGMm mrLrmE+=22 2 221cos1epr+=() sinsincos1sin dd dd22eLGMmeph rh eeptrr=+=)cos1 (122 eLGMm r+=()()2 232 22 232 )cos1 (2sin2eLmGMeLmGME+=()cos1 (232 eLmGM+()()122 232 =eLmGM所以 ()32221mGMELe+=偏心率由总能量E和角动量L决定. 二、几点讨论二、几点讨论 1. 轨道类型的确定. 若0E, 则1e, 轨道为双曲线. 若0=E, 则1=e, 轨道为抛物线. 若0E, 则1e, 轨道为椭圆. 关于轨道类型的判断还可利用有效势能曲线, 在万有引力场中, 有效势能为 22eff2mrL rGMmV+=质点的运动相当于在一维势场中运动, 有 EVrm=+eff2 21根据eff2 21VErm=必须恒正确定质点的运动范围. 2. 总能量与椭圆半长轴的关系. 在近日点写出能量关系, 有 min2 min2min2 min221 rGMm rmh rGMmmrE=利用下列关系 ()ear=1min ()221eGMaGMph=可得 aGMmE2=电子绕核运动的能量只决定于轨道的半长轴, 即氢原子的能级只与主量子数有关. 3.角动量不能影 响轨道的半长轴, 不 能影响轨道类型, 但 要影响轨道的偏心率, 对椭圆而言, 角动量 越大, 偏心率越小. 三、隆格三、隆格-楞次楞次(Runge-Lenz)矢量矢量 在平方反比引力场这种特殊情况中, 除角动 量守恒和机械能守恒外, 还有一个守恒量: 隆格 -楞次矢量守恒, 它的表达式为 常矢=rrGMmLtrBdd(A) 这个附加的运动积分的重要性在于它对应着一种 特殊的对称性动力学对称性， 由于它的存在, 导致轨道的闭合. 现证明如下: =+= =rrGMm ttr rGMmrtr rGMmtrrtrrrr rGMmtrrrr rGMmLtrLtr tdd dd dddd dddd dd dd dd22222移项后积分即可得(A)式. 利用(A)式, 通过代数运算就可求出轨道方程. 既已证明隆格-楞次矢量B 为常矢, 我们就可取它为极坐标的极轴方向. 以r点乘(A)式, 得 ()GMmrLvrBr=GMmrmLrB=2 cos最后得 cos12GMmBGMhr +=可见轨道为圆锥曲线, 轨道类型由偏心GMmBe =决定. 可以得出两个结论: (1) 偏心率由矢量B 的大小决定(只差一个常数因子), 故有些书又称隆格-楞次矢量为偏心率 矢量. (2) 从轨道方程中看出, 当时0=, minrr =, 所以隆格-楞次矢量是指向轨道的近日点的. 由于隆格-楞次矢量守恒的存在, 才导致轨 道近日点在空间位置不变, 使轨道成为闭合的椭 圆轨道. 四、开普勒三定律的证明四、开普勒三定律的证明 第一定律: 行星绕太阳做椭圆轨道运动, 太 阳位于其一个焦点上(发表于 1609 年). 第二定律: 行星与太阳的连线在相等的时间 内所扫过的面积相等(发表于 1609 年). 第三定律: 各行星运动周期的平方与它们轨 道的半长轴的立方成正比(发表于 1619 年),即 常数=32aT （对各行星相同） 这三条定律精确地描述了行星的运动, 至今 仍然适用. 但开普勒不能解释这些定律, 直到 50 多年后牛顿运用他自己获得的动力学规律研究行 星运动发现了万有引力定律, 然后又用万有引力 定律求出行星运动才有了满意的解释. 通过前面的阐述, 开普勒第一、 二定律已得 到证明, 现给出第三定律的证明: 掠面速度等于椭圆面积除以周期T Tabh=2其中a, b是椭圆的半长轴和半短轴的长度. 因此 habT2=利用两个关系: 21eab=和()22 1eaGMhp=立即可得 GMaT3 2=或 GMaT2324=上式右端只与太阳质量有关, 与行星质量无关, 这就证明了开普勒第三定律. 例题例题 2 一卫星沿半径为R2(R为地球的半径) 的环绕地球的圆形轨道运动, 在某一时刻, 卫星 运动方向朝地球一边改变了角, 而速率不变, 欲使卫星轨道擦着地球表面而过, 试求角之值. 解解 不改变卫星的速率, 只改变卫星速度的方向, 即只改变卫星的角动量而不改变卫星的总能量, 所以改变后的轨道仍然是椭圆(圆是0=e的椭圆), 其半长轴也不改变, 等于R2, 只是偏心率发生了 改变. 卫星的总能量为 RGMm aGMmE42=(1) 因为 22 0 42RGMm Rmv=(2) 所以 RGMv20=新轨道与地球表面相切, 切点必是轨道的近 地点. 根据能量守恒 RGMm RGMmmv4212=(3) 所以 RGMv23=根据沿新轨道运动角动量守恒可得 cos20RvRvh=(4) 求出23cos=即 30. 换一种做法试试!