巧用直线的参数方程解一类焦点弦长问题彭耿铃(福建省泉州市第七中学, 362000)? ?解析几何中的动直线过焦点问题是高考中一 种常考的题型. 这类问题在高考中主要考察直线 与圆锥曲线的位置关系、 轨迹方程、 不等式的解 法, 考察分类与整合思想以及学生的运算能力和 综合解题能力, 所涉及到的知识点多、 覆盖面广、 综合性较强, 不少学生常常因缺乏解题策略导致 解答过程繁难、 运算量大, 甚至半途而废, 严重影 响了学生的高考成绩. 本文给出一个常用定理, 并选取近几年高考 中的几道动直线过焦点问题的压轴题为例, 巧用 直线的参数方程来解题, 可化繁为简, 减少计算过 程, 易于被学生接受. 定理 ? 已知圆锥曲线(椭圆、 双曲线或者抛物 线) 的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴) , 过焦点 F 且倾斜角为 ?的直线l 与圆锥曲线交于 A 、 B 两 点, 记圆锥曲线的离心率为 e , 通径长为 H , 则: (1) 当焦点在 x 轴上时, 弦 AB 的长AB=H | 1- e2cos2?|;(2) 当焦点在 y 轴上时, 弦 AB 的长AB =H | 1- e2sin2?|.本文仅以焦点在 x 轴上、 中心在原点的椭圆 为例给出证明, 其它情形请读者自证.证明 ?设椭圆方程为x2a2+y2b2= 1(a b 0), 通径H =2b2 a, 离心率 e=c a, 弦 AB 所在的直线 l 的方程为y = k(x - c)( 其中 k = tan ? , ?为直 线 l 的倾斜角), 其参数方程为 x = c+ tcos? y = tsin?( t 为参数).代入椭圆方程并整理得: (a2sin2?+ b2cos2? ) ? t2+ 2b2ccos? t- b4= 0, 由 t 的几何意义可得:| AB | = | t1- t2| =(t1+ t2)2- 4t1t2=(-2b2ccos? a2sin2? + b2cos2?)2- 4b2 a2sin2? + b2cos2?=2ab2 | a2sin2?+ b2cos2?|=2b2 a| sin2? +b2a2cos2?|=2b2 a | sin2? + (1- e2) cos2?|=H | 1- e2cos2?|.下面我们利用上述焦点弦长公式来巧解几道 高考试题. 例 1?(2007年全国卷 ? 文第 22 题) 已知椭圆x23+y22= 1的左、 右焦点分别为F1、 F2, 过F1的直线交椭圆于 B、 D 两点, 过 F2的直线交椭圆于 A 、 C 两点, 且 AC ? BD, 垂足为 P.(1) 设 P 点的坐标为(x0, y0), 证明:x20 3+y20 20, b 0), ? OA、AB、 | OB | 成等差数列, 设AB = m, 公差为d, 则 OA = m- d,OB = m+ d, ? (m - d)2+ m2= (m+ d)2, 即 m2- 2dm+ d2+ m2= m2+ 2dm + d2, ? d =m 4.从而 OA=3m 4,OB =5m 4.又设直线 l1的倾斜角为 ? , 则 ?AOB = 2? .l1的方程为 y =b ax , ? tan ?=b a.而 tan 2?= tan?AOB =| AB | | OA |=4 3,?2tan ? 1- tan2?=2 ?b a1- (b a)2=4 3,解之得b a=1 2,? e =1+ (b a)2=5 2.( ?) 设过焦点F的直线AB 的倾斜角为?, 则?=? 2+ ? , ? cos?= - sin? .?sin2?=tan2? 1+ tan2?=(1 2)21+ (1 2)2=1 5,? cos2?=1 5.双曲线的通径 H =2b2 a= 2b ?b a= b.又设直线 AB 与双曲线的交点为 M、 N, 于是由定理 可 得: |MN| =H 1- e2cos2?=4,即b1- (5 2)2?1 5= 4, 解得 b = 3, 从而 a = 6.? 所求的椭圆方程为x236-y29= 1.图 3例3 ? (2010年辽宁理科第 20 题) 设椭圆 C:x2a2+y2b2= 1( a b 0) 的左焦点为 F, 过点 F 的直线l 与椭圆 C 相交于A , B 两点, 直线l 的倾斜角为 60?, AF = 2 FB.( ?) 求椭圆 C 的离心率;( ?) 如果 AB =15 4, 求椭圆 C 的方程.解 ? ( ?) 设直线 AB 的参数方程为x = - c+ t ?cos60? = - c+1 2ty = t ? sin60 ? =3 2t(t 为参数),代入椭圆方程x2a2+y2b2= 1, 得(1 4b2+3 4a2)t2- b2ct - b4= 0.设 A (- c+1 2t1,3 2t1), B(- c+1 2t2,3 2t2),F(- c, 0),? t1+ t2=b2c 1 4b2+3 4a2,t1?t2=- b4 1 4b2+3 4a2( * )23? 辅教导学? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数学通讯? ? 2011 年第 3 期(上半月)? AF = 2 FB ,? AF = (-1 2t1, -3 2t1) = 2 FB= 2(1 2t2,3 2t2) = (t2, 3t2) ,? -1 2t1= t2, 即 t1= - 2t2.代入(* ) 式可得:t1+ t2= - t2=b2c1 4b2+3 4a2,t1?t2= - 2t22=- b4 1 4b2+3 4a2,? - 2(b2c 1 4b2+3 4a2)2=- b4 1 4b2+3 4a2,化简得 2c2=1 4b2+3 4a2, 即 2c2=1 4( a2-c2) +3 4a2, 从而 9c2= 4a2, ? e2=4 9, ? e=2 3.( ?) 由定理得AB =H | 1- e2cos260 ? |=2b2a| 1-1 4e2|=2b2a| 1-1 4?4 9|=9 4?b2 a=15 4?b2a=5 3,又 e =c a=2 3, ? a = 3, b =5.故椭圆 C 的方程为x29+y2 5= 1.评析 ? 本题作为2010年辽宁理科21题, 高考 试题提供的答案难度大, 计算量也大, 得分率低.利用直线的参数方程, 转化为直线参数问题, 学生 较为熟悉, 降低难度, 易于计算.例4? ( 2010年山东理科第21题) 已知椭圆x2a2+y2b2= 1(a b 0) 的离心率为2 2, 以该椭圆上的点和椭圆的左、 右焦点 F1, F2为顶点的三角形的周长为 4( 2+ 1). 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点, 直线 PF1和 PF2与 椭圆 的 交 点 分别 为 A 、 B 和C、 D. ( ?) 求椭圆和双曲线的标准方程;( ?) 设直线 PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2, 证明: k1?k2= 1; ( ?) 是否存在常数 ? , 使得 AB +CD= ? AB ? CD 恒成立?若存在, 求 ?的值; 若不存 在, 请说明理由.解 ? ( ?)、 ( ?) 较为简单, 这里省略! ( ?) 设直线 PF1、 PF2的倾斜角分别为 ? , ? ,? e=2 2, 则由定理可得:AB =H | 1- e2cos2?|=2 2| 1-1 2cos2?|=4 2 2- cos2?=4 2(sin2?+ cos2? )2sin2?+ cos2?=4 2(tan2?+ 1) 2tan2? + 1.?k1?k2= tan ?tan ?= 1, ? 同理可得CD =4 2( tan2?+ 1)2tan2?+ 1=4 2(1 tan2?+ 1)2 ?1 tan2?+ 1=4 2( tan2?+ 1) 2+ tan2?,? AB +CD= ? AB ?CD ,? ?=AB +CD AB ?CD=4 2( tan2?+ 1) 2tan2? + 1+4 2(tan2?+ 1) 2+ tan2? 4 2(tan2? + 1) 2tan2?+ 1?4 2(tan2?+ 1) 2+ tan2?=3 2 8.通过以上几例可以看出, 对于动直线过焦点 问题, 可巧用直线的参数方程来解题, 转化为我们 熟悉的三角函数问题, 化繁为简, 从而达到快速解题的目的. 当然, 圆锥曲线的解题方法有多种, 关 键在于对各种方法进行钻研领悟, 对同类型题的 (下转第 27 页)24数学通讯? ? 2011 年第 3 期(上半月) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 辅教导学?数学问题的形式是多样的, 有些题的形式虽 然不一样, 但可归结到一种题型上去, 通过这一道题的解决, 达到会解一类题, 所以解题后要反思题目实质, 并进行归类, 总结通解通法. 例 7?已知关于 x 的方程 sin2x + acosx - 2a= 0 有实数解, 求实数 a 的取值范围.分析 ?原题等价于? 求函数 a =sin2x2- cosx的值域?, 易知a =1- cos2x 2- cosx=4- cos2x - 3 2- cosx= 2+ cosx -3 2- cosx= - 2- cosx +3 2- cosx + 4? 4- 2 3,又 2- cosx ? 1, 3 , 故 0 ? a ? 4- 23.再如以下两题: ? 若方程 x2- ax + 2a- 1 =0 在 x ? - 1, 1 上有实数解, 求 a 的取值范围;? 求函数 y =1- x22- x(| x | ? 1) 的值域.上述两题都是围绕着求 y =sin2x2- cosx的值域这一核心题进行变化和延伸的, 核心问题解决了,各个问题也就不攻自破了.总之, 解题后注重反思能培养良好的思维品 质, 既可促进? 双基? 的掌握, 又能加强知识的有效迁移, 是提高解题能力的重要途径.(收稿日期: 2010- 09- 25)(上接第 24 页) 解答进行分析、 梳理和总结, 这对形成有规律的程 序化的解题思路、 优选解法和快速准确解题都会 有很大的帮助. 下面几道高考试题, 留给大家进行 练习. 题 1? ( 2008 年安徽省文科第 22 题) 设椭圆C:x2a2+y2b2= 1(a b 0) , 其相应于焦点 F(2, 0)的准线方程为 x = 4 . ( ?) 求椭圆 C 的方程; ( ?) 已知过点 F1(- 2, 0) 倾斜角为 ?的直线交椭圆C 于A , B 两点, 求证:AB =42 2- cos2?;( ?) 过点 F1(- 2, 0) 作两条互相垂直的直线 分别交椭圆C 于A , B 和D, E, 求 AB +DE 的 最小值.答案: (1)x28+y24= 1. ( 2) 略. ( 3)162 3.图 4题2? (2008年福建省理科第 21 题) 如图 4, 椭圆x2a2+y2b2= 1( a b 0) 的一个焦点是 F( 1, 0) , O 为坐标原点. ( ?) 已知椭圆短轴的两 个三等分点与一个焦点构成 正三角形, 求椭圆的方程; ( ?) 设过点 F 的直线l 交椭圆于 A 、 B 两点. 若直线l 绕点F 任意转动, 恒有 OA2+OB20) 与 x 轴的左、 右两个交点, 直线 l 过点B, 且与 x 轴垂直, S 为 l 上异于点B 的一点, 连结AS 交曲线C 于点T .图 5( ?) 若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧AB 的三等分点, 试求出点 S 的坐标; ( ?) 如图 5, 点 M 是以 SB 为直径的圆与线段T B 的 交点, 试问: 是否存在 a, 使得 O, M, S 三点共线?若存在, 求 出 a 的值; 若不存在, 请说明理由.答案: ( ?) S(1,2 3 3) 或 S(1, 2 3). ? ( ?) a=2. 参考文献: 1 ?玉邴图. 双曲线渐进线的一组有趣结论. 数