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数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能1第一讲 集合的含义与表示课标考纲解读1理解集合的概念,会判断一组对象能否构成集合。2了解元素与集合的“属于”关系,会判断某一元素属于或不属于某一集合,掌握表示“属于”与“不属于”的符号“ ”与“ ”。3了解常用数集及其记法。4掌握集合元素的特征,并能运用它们解题。5理解列举法和描述法的意义,掌握这两种集合的表示方法和特征,并会运用它们正确地表示一些简单的集合。一、考点知识清单:1.一般的,我们把 统称为元素,把 叫做集合,简称 。2.只要构成两个集合的 ,我们就称这两个集合是相等的。3.元素与集合之间存在的两种关系:如果 是集合 A 的元素,就说 集合 A,记作 aa;如果 不是集合 A 中的元素,就说 集合 A,记作 。a4.集合中的元素具有三个特性: 、 、 。确定性:集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能说明他是或不是某个集合的元素,两者情况必居其一且仅居其一,不会模棱两可。例如:“著名的科学家” “与 接近的数”等都不能2组成一个集合;互异性:集合中的元素是互不相同的,即同一元素在同一集合中,不能重复出现;无序性:在一个集合中,元素之间都是平等的,它们都充当集合中的一员,无先后次序之说,无高低贵贱之分。5.数学中一些常用的数集及其记法:(1) 称为非负整数集(或自然数集) ,记作 ;(2) 称为正整数集,记作 ;(3) 称为整数集,记作 ;(4) 称为有理数集,记作 ;(5) 称为实数集,记作 。6.常见的集合表示方法有 、 、 。例:列举法:正整数集 = ;描述法: 或 。N,4321)(xp)(xpA7.把集合中的元素 的方法叫做列举法,例:正整数集 = 。N,43218.用集合所含元素的 的方法叫做描述法,其形式: 或 。)(x)(xp9.集合的分类: 、 、 。 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能210奇数集: ;偶数集合: 。二、典例分析考点一 集合的概念命题规律:判断一组对象是否构成集合例 1、下列各组对象哪些能构成一个集合?(1)著名的数学家;(2)某校 2007 年在校的所有高个子同学;(3)不超过 20 的非负数;(4)方程描述法: 在实数范围内的解;092x(5)直角坐标平面内第一象限的一些点;(6) 的近似值的全体。3针对训练:1下列各组对象不能构成集合的是( )A某校大于 50 岁的教师 B。某校 30 岁的教师 C。某校的年轻教师 D。某校的女教师2.对于以下说法:接近于 0 的数的全体构成一个集合;正三角形的全体构成一个集合;未来世界的高科技产品构成一个集合;不大于 3 的所有自然数构成一个集合。正确的是( )A B。 C。 D。3.由实数 , , , , 所组成的集合中,最多含有元素的个数为( )x2x3A2 B。3 C。 4 D。5考点二 元素与集合之间的关系命题规律:(1)判定元素与集合之间的关系;( 2)考查正确运用元素与集合之间的从属关系符号“”与“ ”,以及特殊数集的符号。例 2、用符号“”或“ ”填空:(1)2 ,3 ;1x5xZ(2)4 ,5 ;n,2 Zn,12(3) (-1,1) , (-1,1) 。2xy 2)(xy针对训练:1.给出下列关系: ; ; ; 其中正确的个数为( )R1QN3Q3A1 B。2 C。3 D。42设 ,试问 10,10 2,10 3 是否属于 M?nmkM,2例 3、设集合 , 。若 ,试判断Zkx,ZkxB,1BbAa, 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能3与 A,B 的关系。ba例 4、数集 A 满足条件:若 ,则 。若 ,求集合 A 中的其他元素。Aa)1(1a3考点三 集合中元素的特征命题规律:(1)利用集合元素的三性(确定性、互异性、无序性)分析解决问题;(2)解题后检验元素是否满足集合元素的三性。例 5、若集合 A 的四个元素 x,y,z,w 为边长构成一个四边形,那么这个四边形可能是( )A梯形 B。平行四边形 C。菱形 D。矩形针对训练:1.已知集合 A= ,若 ,求实数 的值。12,3aA3a2.已知 ,求实数 的值。x,02例 6、判断下列说法是否正确,并说明理由。(1)1, , , , 这些数组成的集合有五个元素;23412(2)由 a,b,c 组成的集合与由 b,a,c 组成的集合是同一个集合。例 7、含有三个实数的集合可表示为 ,也可表示为 。求 的值。1,ab0,2ba2076b考点四 集合的表示方法命题规律:(1)用列举法表示集合;( 2)用描述法表示集合;(3 )选择适当的方法表示集合;(4)集合的不同表示方法的相互转化。例 8、用列举法表示下列集合:(1)不大于 10 的非负偶数集;(2)自然数中不大于 10 的质数集;(3)由 所确定的实数集合。),(Rba例 9、用描述法表示下列集合:(1)使 有意义的实数 的集合;612xyx(2)坐标平面上第一、第三象限上的点的集合;(3)函数 的图象上所有点的集合;)0(2acb 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能4(4)方程 的解集。)(01)2(2 Zmxmx针对训练:1.用适当的方法表示下列集合:(1)绝对值不大于 2 的整数;(2)在直角坐标平面上不在一、三象限内的点;(3)方程 的解;01yx(4) NyxM,4),(例 10、 (1)已知集合 ,求 M;Z16(2)已知集合 ,求 C。NxC例 11、下面三个集合: ; ; 。 (1)它们是不12xy12xy),(2xy是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?考点五 创新、拓展、探究命题规律:给出定义求集合或求满足条件的集合。例 12、设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= ,若 P=0,2,5,QbPa,Q=1,2,6,则 P+Q 中元素的个数是( )A9 B。8 C。7 D。6例 13、已知集合 A= 。 (1)若 A 中只有一个元素,求 的值;(2)若Raxa,012 aA 中最多有一个元素,求 的取值范围;( 3)若 A 中至少有一个元素,求 的取值范围。 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能5例 14、若集合 ,ZnxA,13, 。nxB,23nxM,36(1)若 ,问是否有 ,使 ?mBbAa,bam(2)对于任意 ,是否一定有 且 ?证明你的结论。, M例 15、设 S 是由满足下列条件的实数所构成的集合: ;若 ,则 。请解S1aSa1答下列问题:(1)若 ,则 S 中必有另外两个数,求出这两个数;2(2)求证:若 ,则 ;aSa1(3)在集合 S 中元素能否只有一个?请说明理由。(4)求证:集合 S 中至少有三个不同的元素。例 16、非空集合 G 关于运算 满足:(1)对任意 都有 ;(2)存在 ,Gba,bGe使得对于一切 ,都有 ,则称 G 关于运算 为“融洽集” 。现给出下列集ae合与运算: , 为整数的加法; , 为整数的乘法;非 负 整 数偶 数, 为多项式的加法。其中 G 关于运算 为“融洽集”的是 。二 次 三 项 式课堂训练:1.用描述法表示下列集合:(1)被 5 除余 1 的正整数集合;(2)大于 4 的全体奇数构成的集合;(3)坐标平面内,两坐标轴上的点的集合;(4)三角形的全体构成的集合。2.设集合 ,集合 ,若 ,试判断 与NnaA,12NkkbB,542 AaaB 的关系。3集合 M 中的元素是非零的自然数,且满足:如果 ,则 。回答下列问题:Mxx8 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能6(1)写出只有 1 个元素的集合 M(2)写出只有 2 个元素的集合 M;(3)满足题设条件的集合 M 共有多少个?【基础训练】一、选择题(共 6 个,每题 4 分)1下列指定对象,能构成一个有限集合的一组是 ( )A.泸州市所有的高中学生 B.平面上所有的点 C.我们班上所有的高个子 D.全国著名的数学家2下列各式中,正确的是 ( )A0=0 B00 C0 D 03集合 A=a,b,c的非空真子集的个数是 ( )A5 B6 C7 D84若 U=x|x7, x N,A=x|x 为质数 ,则 A 为 ( )UA2,4,6 B4,6 C1,4,6 D0,1,4,65如果集合 A=x|ax2 2x 1=0中只有一个元素,则 a 的值是 ( )A0 B0 或 1 C1 D不能确定6下列命题中, (1)如果集合 A 是集合 B 的真子集,则集合 B 中至少有一个元素 (2)如果集合 A 是集合 B 的子集,则集合 A 的
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