复习资料 第一章 第一章 主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。 主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。 1.利用秦九韶算法计算多项式在处的值 16432)(23467xxxxxxxp2x1 -2 0 -3 4 -1 6 -1 2 2 0 0 -6 -4 10 -8 1 0 0 -3 -2 -5 -4 -9 9)2(p 2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数， 即误差不超过最后一位的半个单位， 试指出 他们各有几位有效数字。 （1）； （2）； （3）12.1x 12.10x 12.100x 。 解：有效数字位数分别为：3，4，5 3. 下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？ （1）已知1x ， （A）11 121xyxx， （B）22 (12 )(1)xyxx； （2）已知1x ， （A）2 11()y xxxxx ， （B）11yxxxx； （3）已知1x ， （A）22sin xyx， （B）1 cos2xyx； （4） （A）98y 0， （B）1 980y 解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当 两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计 算法时应尽量避免上述情况发生。 （1） （A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 （2） （B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。 （3） （A）中2sin x使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。 （A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 4） （ 4. 求 3.141 与 22/7 作为的近似值时有效数字的个数. 解：2 2110005. 000059. 0141. 3 3 个。 ,1428. 3722 2 722105 . 0005. 0001. 0 3 个。 5.表中各都是对准确值*xx进行四舍五入得到的近似值。试分别指出其绝对误差限、相对误差限及有效数字位数。 *x绝对误差限 相对误差限 有效数字位数 0.3012 30.12 30.120 解： *x绝对误差限 相对误差限 有效数字位数 0.3012 4105 . 0310614位有效数字位有效数字 30.12 2105 . 0310614位有效数字位有效数字 30.120 3105 . 0410615位有效数字位有效数字 参考过程：参考过程： （1）作为数的近似值时，不一定为的有效数字。 但是用四舍五入取准确值的前位作为近似值， 则必有n个有效数字。 m sxxxx10021.sxxx21*xx*xnm nxxxx10021.xnxxx21因为各 0.3012,30.12=0.3012都是对准确值210x进行四舍五入得到的近似值，所以0.3012,30.12 都有位有效数字 3012 4而 30.120=0.30120有5位有效数字 30120。 210（2）根据有效数字的定义：设数的近似值，其中（）是到9之间的任一个正整数，且*xm sxxxx10. 0210ixsi,2101x，是正整数，是整数，如果绝对误差的 nm*e*enmxx1021*则称x为的具有n位有效数字的近似值，*xx准确到第位，为nnxxx21x的有效数字。 所 以 ， 具 有 四 位 有 效 数 字 的 数 0.3012,30.12=0.3012的 绝 对 误 差 限 分 别 为210440*105 . 010213012. 0x ，2421021*105 . 012.30x 。具有五位 有 效 数 字 的 数30.120=0.30120的 绝 对 误 差 限 分 别 为210352*105 . 01021120.30x 。 （3）根据定理：设数的近似值具有位有效数字，则*xm nxxxx10021.nx的相对误差满足下列不等式 n rxe111021*所以，具有四位有效数字的数 0.3012,30.12=0.3012的相对误差限都为 21034111*1061103211021n rxe 。 而具有五位有效数字的数 30.120=0.30120的相对误差限都为 21045111*1061103211021n rxe6近似值关于真值有( 2 )位有效数字； *0.231x 229. 0x7. 为了减少误差，应将表达式19992001改写为 199920012。 8. 改 变 函 数f xxx( ) 1(x 1) 的 形 式 ， 使 计 算 结 果 较 精 确 xxxf11。 9. 用 1+x 近似表示 ex所产生的误差是( C )误差。 A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 10.取31 732. 计算431()x，下列方法中哪种最好？（ C ） (A)28 16 3 ； (B)242 3( )； (C) 21642 3( )； (D) 41631() 。 第二章 非线性方程的数值解 第二章 非线性方程的数值解 主要内容：区间二分法，迭代发，牛顿迭代法。 主要内容：区间二分法，迭代发，牛顿迭代法。 1. 用二分法求方程在1, 2的近似根，要求误差不超过 用二分法求方程在1, 2的近似根，要求误差不超过01 xx331021至少要二分多少？ 至少要二分多少？ 解：给定误差限0.5103，使用二分法时，误差限为 )(211*abxxkk只要取 k 满足)(211abk即可，亦即 96678. 912lg10lg35 . 0lg12lglg)lg(abk只要取 n10. 2. 方程在 x =1.5 附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应 的迭代公式： 方程在 x =1.5 附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应 的迭代公式： 0123 xx（1） （1） 211xx，迭代公式，迭代公式 2111kkxx（2） （2）x，迭代公式，迭代公式231x32 11kkxx（3）（3）112 xx， 迭代公式， 迭代公式111 kkxx（4） （4）1xx3， 迭代公式， 迭代公式13 1kkxx 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近 似根。 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近 似根。 解： （1）令211)(xxf，则32)(xxf，由于 159. 05 . 1 12)(33xxf，因而迭代收敛。 （2）令321)(xxf，则32 2)1 (32)(xxxf，由于 134. 0 )5 . 11 (35 . 12)( 322 xf迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。 （3）令 11)(xxf，则 3) 1(21)( xxf，由于 1 ) 15 . 1 (21)( 3 xf迭代发散。 （4）令1)(3xxf，则21 32) 1()(xxxf，由于 1 15 . 15 . 11)( 3232 xxxf迭代发散。 具体计算时选第二种迭代格式， 32 11kkxxn=0,1, 计算结果如下： 4727057. 1,481248. 1, 5 . 1210xxx 466243. 1,4670480. 1,4688173. 1543xxx 4656344. 1,4657102. 14658768. 1876xxx 4656000. 19x 4656000. 1,102194 89xxx3. 建立利用方程30xc求3(0c c )的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。 解：牛顿迭代格式为：2323132 3)( )(kkkk k kk kkxcx xcxxxfxfxx令，因为当时，cxxf3)(0x03)( 2 xxf06)( xxf， 故对于任何满足， 0)(3 0cxxf即3 0cx的初值，上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于0x3c。 4.建立利用方程20cxx求3(0c c )的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。 解：牛顿迭代格式为：cxcxxcxcx xxfxfxxkk k kk kk23 21)( )(3321 令2( )cf xxx，因为当时，0x021)( 3xcxf，06)( 4xcxf 故对于任何满足， 0)(3 0cxxf即3 00cx的初值，上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于0x3c。 5.教材 39 页，例 215 和例 216. 6、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。 解：3是的正根，03)(2 xxfxxf2)(，牛顿迭代公式为 nn nnxxxx2321， 即 ), 2 , 1 , 0(23 21nxxxnn n取x0=1.7, 列表如下： n 1 2 3 nx1.73235 1.73205 1.73205 7. 用二分法求方程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 01)(3xxxf0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 8. 如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分 （ 10 ）次。 043 xx2 , 1 9. 用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的根是( B )。 (A) y=(x)与 x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与 y=(x)交点的横坐标 (C) y=x 与 x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与 y=(x)的交点 10.已知方程在325xx 02x 附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是 ( C ) 02x (A)3 125kkxx ； (B)152k kxx ； (C)； (D)3 15kkkxxx 31225 32k k kxxx 。 11用 Newton 迭代法求解方程在 2.0 附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位） 。 0133xx解： ， 013)(3xxxf0 . 20x3312 3313 )()(23231 kkkkk k kk kkxx xxxxxfxfxx8889. 19173231223312 232 03 01 xxx8794. 1 3312 2 13 12 xxx ，8794. 13312 2 23 2