数学通报2 0 ( Y7 年第4 6 卷第3 期数学探究从课本题扬帆起航对一道解析几何习题的探究华志远( 江苏无锡市第一中学2 1 4 0 3 1 )新的高中课程改革的帷幕已徐徐拉开， “ 数学 探究” 、 “ 数学建模” 、 “ 数学文化” 犹如三颗璀璨的明 珠， 在新课改殿堂中尤为耀眼夺目， 凸现出注重培 养学生综合素质和创新意识的多元课程观. 但怎样 科学、 有序、 高效地组织教学， 许多教师都觉得心中 没底.以“ 数学探究” 为例， 笔者从目前的一些研究 课、 示范课中， 就发现存在着两种错误的解读一 种 是概念的窄化， 将数学探究等同于初等数学研究， 即通过数学探究， 非得要得出一些新奇的惊人之 作， 而这只能是教师的一厢情愿; 另一种是概念的 泛化， 将一般的新授课得出的概念、 公式、 定理都称 之为数学探究的成果. 于是， 教学形式又回到“ 老师 讲， 学生听” 的老路上去.那么， 究竟怎样才能把握这一模块的教学呢? 此处笔者无意总结出关于数学探究课的具体操作 模式， 因为数学探究本身千姿百态， 很难用“ 线性” 的思维加以审视， 倒是更倾向于从这样一个角度去 理解数学探究的价值: 作为培养学生理性思维和创 新意识的载体， 数学探究重要的不仅仅是去得出多 少美妙的结论， 而是从学生现有的认知水平出发， 通过独立探索去体验这一活动过程中执著、 多元、 不畏艰难、 富有理智的创造性思考， 从而起到数学 探究独到的育人功能， 如探究过程中的执著与坚 韧， 论证过程中的务实与严谨， 发现过程中的开拓 与超越， 数学结论本身的和谐与奇异， 以及给人带 来的惊喜与陶醉， 等等.当然， 一线教师又生活在理想与现实的矛盾之 中. 由于数学探究耗时较多， 免不了担心探究性学 习是否会影响高考成绩. 事实上， 高考命题的宗旨 是“ 源于教材， 高于教材” ， 这样既有利于中学教学 的有序推进， 又有利于高校选拔人才. 这就是为什 么每年高考， 总有部分试题让人觉得有“ 似曾相识 燕归来” 之感， 因为高考题与课本题本来就血脉相 连. 因此， 从课本题出发加以变式、 改造和拓展， 可 以提高复习教学的针对性和有效性， 从而告别茫茫题海. 可见， 对课本的例题、 习题的深人探究， 无论 是对于学生数学素养的提高， 还是对于考试要求的 把握， 都有着极其重要的价值. 这里， 选择课本题的 典型性和变通性显得尤为重要.例如， 高二解析几何教材上有这样一道习题: 在 椭 圆 x 2 +兮J1 上求一点， 使它与两个焦点的连-一 三20线互相垂直. ” 全国和各省市高考中就多次以该题 作为命题背景， 考查学生运用函数与方程、 数形结 合、 分类讨论、 等价转化等数学思想方法解决问题 的能力， 把该题作为数学探究的素材， 有利于探究 性活动的不断深人. 1 解决问题的不同途径设两个焦点分别为 F l , F 2 ， 满足题设的点为 P ( x ， y .思路1 由P F ， 和P i 、 的 斜率乘积为一 1 或勾 股 定 理 或 向 量 - - P F , 和 P F 2 的 数 量 积 为 零 ， 得 出二 ， + 尹二2 5 ， 再与 椭圆 方程联立解方程组得出 该点坐标 为住 3 , 4 ) , ( 士 3 ， 一 4 ) .思路2 由图 形的 性质知， 点尸 必定在以F , F 2 为 直径的圆 上， 再得出护+ 尹二 2 5 ， 以 下同 上.思路3 由 椭圆的定义得 I P F , I + I P F 2 I = ， 又I P F , 1 2 + I P F 2 1 2 =1 0 0 ， 于是! P F , ! 二4 0 ，故点 P的纵坐标的绝对值为I P F 2 I厕PFzPFI ，11! F , 凡 ! ( 土3 , 4 ) , ( 士3 ,其它思路=4 ， 于是得满足题意的点的坐标为一4 ) .也可从焦半径或从椭圆的参数方 程找到解题的突破口.很明显， 思路 1 , 2 是基本方法， 而思路3 及焦半 径法则抓住了圆锥曲线定义这一特性， 简化了运 算. 通过以上各种解题途径的尝试与比较， 不仅能 唤醒对各种知识和方法的回忆， 而且丰富了我们对 通性通法内涵的理解， 强化了解题的求简意识. 2相关裔考题抽彩回放 例 ;( 2 0 0 0 年 全 国 高 考 题 ) 椭 圆 x 2 + 军，兮二1 的2 0 0 7 年第4 6 卷第3 期数学通报焦点为F 1 . 凡， 点P 为其上的 动点. 当乙F l P F 2 为钝 角时， 点尸 横坐标的 取值范围 是_.剖析由于同圆中同弧所对的顶点在圆内的 角大于顶点在圆周上的角， 也大于顶点在圆外的 角， 故当P 在椭圆和以F I 凡为直径的圆的 交点间的 上下两 段弧上时， 匕F , P F 2 为钝角. 而当艺F I P F 2 为 直角时， 利用前面的方法可求得其横坐标为 土 粤 朽 ， 故 符 合 题 意 的 点尸 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 为一 5 “ J目 ， ” 研 J 、 、 ” 甲 卜一 “ J ” 甲 一 卜1 以/ 子l 3 二3 二 5 一 5 一 I 可见， 本题只是把课本的数据和提问角度稍作 改变和调整.利用思路1 和思路2 ， 即假设这样的点存在， 其 坐 标 为 ( x , ， ) ， 则4 x 2 + 9 y 2 = 1 8 0 , x 2 + ， ， 二 m 2 ， 解 得5 x 2 二 9 ( M 2 一 2 0 ) , 5 y 2 = 4 ( 4 5 一 m 2 ) ， 又y =A 0 ， 故 扩) 0 , 尹 0 ， 于 是可得当2 朽鉴m “ ， 0 ， 上 是三9若到例 2 (2 00 4 年 湖 北 高 考 题 ) 已 知 椭 圆 菇 + =1 的 左右焦点分别为F 1 . 凡， 点P 在椭圆上. P , F F 2 是一个直角三角形的三个顶点， 则点尸 X轴的距离为 ( B )3 (C ) 绰由 于a二4 , b二3 , c= 行 b ， 即a 径b 时， 这样的 点有4 个; 当c 二6 ， 即a= 在b 时， 这样的 点有2 个; 当。 0 ) 的连通过这样多方位、 多角度、 多层次的探究活动， 可以使学生的思维品质不断得以提升， 并从中体验 到数学发现给人带来的渝悦 感和成就感.在开展“ 数学探究” 之初， 集中一段时间进行学 习是很有必要的， 它可以让学生感悟数学探究的一 些思想方法和基本策略， 但真正要改变学生单一的 学习方式， 提高学生的综合素养， 还要靠平时的不 断渗透， 以起到“ 润物细无声” 的效果.