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2006年全国初中数学联赛试题 2006年全国初中数学联赛试题 第一试 第一试 一、选择题(每小题一、选择题(每小题7分,共分,共42分)分) 1.已知四边形ABCD为任意凸四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、EF、GH、 CD、DA的中点,用S,P分别表示四边形的面积和周长;S1,P1分别表示四边形的面积和周长.设,1SSK =,11PPK =则下面关于K、K1的说法中,正确的是( ). A. K、K1均为常值 B. K为常值,K1不为常值 C. K1为常值,K不为常值 D. K、K1均不为常值 2.已知m为实数,且sin、cos是关于x的方程 3x2-mx+1=0的两根.则sin4+cos4 的值为( ). A. 29 B. 13 C. 79 D. 1 3.关于x的方程axx=|1|2 仅有两个不同的实根,则实数a的取值范围是( ). a A. a 0 B. a4 C. 2 0,则实数a、b、c的大小关系是( ). , 0222=+caba2abc A.bc a B. cab C. abc D. bac 5. a、b为有理数,且满足等式 324163+=+ba,则a+b的值为( ). A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6.将满足条件 “至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数” 从小到大排成一列数: 20,40,60,80,100,104,.则这列数中的笫158个数为( ). A. 2000 B. 2004 C. 2008 D. 2012 二、填空题(每小题7分,共28分) 1.函数的图像与x轴交点的横坐标之和等于_. 2008|20062+=xxy2.在等腰RtABC中,AC=BC=1,M是BC的中点,CEAM于点E,交AB于点F.则 SMBF=_. 3.使16)8(422+xx取最小值的实数x的值为_. 4.在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点坐标分别为O (0,0),A(100,0),B (100,100),C (0,100). 若正方形OABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足: SPOASPBC= SPABSPOC, 就称格点为“好点”.则正方形内部好点的个数为 _. (注:所谓格点,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.) 第二试(A) 第二试(A) 一、(20分)已知关于x的一元二次方程 无相异两实根.则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组? 0)994()32(2222=+baxbax二、(25分)如图,D为等腰ABC底边BC的中点,E、F分别 为AC及其延长线上的点.已知EDF=90,ED= DF =1,AD=5, 求线段BC的长. 三、(25分)如图,在平行四边形ABCD中,A的平分线 分别与BC、DC的延长线交于点E、F, 点O、O1分别为CEF、 ABE的外心.求证: (1)O、E、O1三点共线; (2)OBD=21ABC. 第二试(B) 第二试(B) 一、(20分)同A卷第一题. 二、(25分)同A卷第二题. 三、(25分)如图,在平行四边形ABCD中,A的平分线 分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为 CEF、ABE的外心. (1)求证:O、E、O1三点共线; (2)若21ABC=70,求OBD的度数. 第二试(C) 第二试(C) 一、(20分)同A卷第二题. 二、(25分)同B卷第三题. 三、(25分)设p为正整数,且p2.在平面直角坐标系中,点A (0,p)和点B (p,0) 的连线段通过p-1个格点, C1 (1, p1), Ci(i,pi),Cp1 (p1,1). 证明: (1)若p为质数,则在原点(0,0)与点Ci(i,pi) 的连线段OCi(i=1,2,p1) 上除端点外无其他格点; (2)若在原点O(0,0)与点Ci(i,pi)的连线段OCi(i=1,2,p1)上除端点 外无其他格点,则p为质数. 2006年全国初中数学联赛答案 2006年全国初中数学联赛答案 第一试 第一试 一、选择题 1.B 如图, 易知 SAEH =41SABD, SCFG=41SCBD, 于是 SAEH+ SCFG = 41SABCD, 同理,故SBEF+ SDHG = 41SABCD,故SEFGH = 21SABCD即 k =2为常值. 又易知,P1=AC+BD, 特别地,若取邻边长分别为1、2的矩形,则k1=;53再取邻边长分别为1、的矩形,则k1=,104故k不是常值. 2. C 由根与系数的关系知 sincos =31, 则有sin4+cos4 = (sin2+cos2)2 -2(sincos)2 = ,973. D 当a0时,原方程化为axx=12整理得 x2-ax+a=0(1)或x2+ax-a=0(2) 因为方程(2)的判别式2=a2+4a0, 即方程(2)有两个不同实根。 又因为原方程仅有两个不同实根,故必有方程(1)的判别式1=a2-4aa2及 b0知c0;由2ab=a2+c2及 b0知a0 由a2-2ab+c2 = 0 b2-c2 =(ab)2 0,从而bc (*) 若b=c,由a2-2ab+c2 = 0知a=b,从而a=b=c与bca2矛盾,故bc 又由b2bca2,故b a;由a2+c2= 2ab2a2,故ca 从而bc a 5. B 因为333612)31 (1632416+=+=+=+ 333+=+ba, 即03) 1()3(=+ba, a,b为有理数,a=3,b=1,a+b=4. 6. C 在正整数中, 是4的倍数为末两位是4的倍数, 其中包含数字0的情况 “00,04,08,20,40,60,80”和不包含数字0的18种情形. 显然,满足条件的两位数仅有4个;满足条件三数共97=63个;满足条件且千数为1的四位数:共有710+181=88个, 因为4+63+88=155,则从小到大第155个满足条件的数为1980, 下面满足条件的数依次为2000,2004,2008. 故这列数中的第158个数为2008. 二 填空题 二 填空题 1. 0 原问题可转化为求方程x2-2006| x |+2008=0 的所有实根之和。若实数x0为方程的根,则其相反数-x0也为方程的根,即与x轴交点的横坐标之和等于0. 2. 121如图, 过B作BGBC交CF延长线于G,易证RtACMRtCBG 故BG=CM,SCBG = SACM=21SABC, 又易证BFMBFG 故SMBF = SBMF= SCMF , 从而SBGF =31SCBG =61SABC = 1213. 38在直角坐标系中, 设A (0,2),B (8,4),P (x,0), 则|PA|=42+x,|PB|=16)8(2+ x 所以|PA|+|PB|AB|=106822=+当且仅当A、P、B三点共线时等号成立, 即当且仅当A、P、B三点共线时原式取最小值. 此时如图易知 BCPAOP,故有224=AOBC POCP从而 OP=31OC=38,即原式取最小值式, x =384. 197 如图,过点P作PDOA于D, 作PEAB于E, 作PFBC于F, 作PGOC于G. 易知PF+PD = 100, PE+PG = 100 由 SPOA SPBC = SPAB SBPOC 知PDPF=PEPG 即 PD(100-PD) = PG(100-PG) 化简为(PD-PG) (PD+PG-100)=0 故 PD=PG 或 PD+PG=100, 即PD=PG 或 PG=PF 于是,P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点 同理, 可以知道当P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点时, 满足SPOA SPBC = SPAB SBPOC 因此, 点P为 “好点” 当且仅当P为对角线OB上的点或对角线AC内部的格点,易知OB内部有99个“好点”, PA内部也有99个“好点”,又易知OB与AC的交点也为“好点”, 于是,满足条件的“好点”的个数为 99+99-1=197个. 第二试(A卷) 第二试(A卷) 一 无相异两实根, 0)994()32(2222=+baxbax所以,化简为 0)994(4)32(2222+=baba45632+baab, a,b 为正整数, ,54) 32)(3(+ba,454 35432+ab2b+313, 故b5 当b=1时,5543+a故a7, 符合条件的有序正整数对共有7组; 当b=2时,7543+a故a4, 符合条件的有序正整数对共有4组; 当b=3时,9543+a故a3, 符合条件的有序正整数对共有3组; 当b=4时,11543+a故a1, 符合条件的有序正整数对共有1组; 当b=5时,13543+a故a1, 符合条件的有序正整数对共有1组; 综上所述,符合条件的有序正整数组共有7+4+3+1+1=16组. 二 解:如图,过E作EGAD于G,过F作FH AD于H 则DFHRtEDGRtDFHEDG=, 设EG =x,DG =y,则DH=x,FH=y,且 ) 1 (122=+ yxAEGRtQ则AFHRtAHAG FHEG=即xy yx +=55化简为 ,由(1)、(2)知 )2()(522xyyx=+) 3(51= xy 由知)(2)()(2222yxxyyx+=+2)(yx+2549 2512=即有 )4(57=+ yx 由(3)、(4)知54,53=yx 又AEGRtAGEG ADCDACDRt=, 故75545535= =AGEGADCD, 所以7102= CDBC。 三 解:(1)连接OE,OF,O1A,O1E, ABCD为平行四边形, ECFABE= 又 点O、O1分别为CEF、ABE的外心,OE=DFO1A=O1E =ABEECFEOF22,1EAO于是OEFEAO1 11,OEOAEOOEF、=三点共线 (2)解法一:连接OD,OC, ABCD为平行四边形 CFCECFEBAFDAECEF=, 又点O为CEF的外心OCFOCEOCOFOE=, OCDOEBOCFOFCOEC=, 又DCABEBAEBEADBAE=, OEBOCDOBODOBEODC=,ODBOBDOBCODC=, BDAODCCBDOBCOBD+=+=OBDABCBDOADC= ABCOBD=21解法二:连接OD,OC, ABCD为平行四边形 CFCECFEBAFDAECEF=, 又 点O为CEF的外心OCFOCEOCOFOE=, ,OCFOFCOECOCFOCE= OCFOCEOCOFOE=, ,OCFOFCOECOCFOCE= OCDOEB= DCABEBAEBEADBAE=, OEBOCD, OBEODC= O,B,D,C四点共圆, ABCFCBOCFOBD=21 21第二试(B卷
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