20032003 年年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数学数学（理工农医类）（理工农医类）注意事项：1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)sin()sin(21cossinlccS)(21台侧其中c、c分别表示)sin()sin(21sincos上、下底面周长，l表示斜高或母线长.)cos()cos(21coscos球体的体积公式：3 34RV球，其中 R)cos()cos(21sinsin表示球的半径.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第第卷（选择题共卷（选择题共 6060 分）分）一一. .选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的只有一项是符合要求的1已知已知2(x，0） ，54cosx，则，则2tg x （）（A） 247（B） 247（C） 724（D）7242圆锥曲线圆锥曲线2cossin8的准线方程是的准线方程是（）（A）2cos（B）2cos（C）2sin（D）2sin3设函数设函数 2112)( xxfx00xx，若，若1)(0xf，则，则0x的取值范围是的取值范围是（）（A） （1，1）（B） （1，）（C） （，2）（0，）（D） （，1）（1，）4函数函数)cos(sinsin2xxxy的最大值为的最大值为（）（A）21（B）12 （C）2（D）25已知圆已知圆 C：4)2()(22yax（0a）及直线）及直线l：03 yx，当直线，当直线l被被 C 截得截得的弦长为的弦长为32时，则时，则a（）（A）2（B）22（C）12 （D）12 6已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为 R，高为，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A）22 R（B）2 49R（C）2 38R（D）2 23R7已知方程已知方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成一个首项为的四个根组成一个首项为 41的的等差数列，则的的等差数列，则|nm（）（A）1（B） 43（C） 21（D） 838已知双曲线中心在原点且一个焦点为已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（7，0） ，直线，直线1 xy与其相交于与其相交于 M、N两点两点， MN 中点的横坐标为中点的横坐标为32， 则此双曲线的方程是则此双曲线的方程是（）（A）14322 yx（B）13422 yx（C）12522 yx（D）15222 yx9函数函数xxfsin)(，23,2x的反函数的反函数)(1xf（）（A）xarcsin1x，1（B）xarcsin1x，1（C）xarcsin1x，1（D）xarcsin1x，110已知长方形的四个顶点已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和和 D（0，1） ，一质点一质点从从AB 的中点的中点0P沿与沿与 AB 的夹角的夹角的方向射到的方向射到 BC 上的点上的点1P后，依次反射到后，依次反射到 CD、DA和和 AB 上的点上的点2P、3P和和4P（入射角等于反射角入射角等于反射角） ， 设设4P的坐标为的坐标为 （4x， 0） ， 若若214 x，则则 tg的取值范围是的取值范围是（）（A） （ 31，1）（B） （31， 32）（C） （52，21）（D） （ 52， 32）11 )(lim11 41 31 222 42 32 2nnnCCCCnCCCC （）（A）3（B） 31（C）61（D）612 一个四面体的所有棱长都为一个四面体的所有棱长都为2， 四个顶点在同一球面上四个顶点在同一球面上， 则些球的表面积为则些球的表面积为 （）（A）3（B）4（C）33（D）6第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分）二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上1392)21(xx 的展开式中9x系数是14使1)(log2xx成立的x的取值范围是15如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16下列 5 个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点， 能得出l面 MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤骤P MN lPNMlNlPMlMNPNlPM215 341717 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）已知复数z的辐角为60，且|1|z是| z和|2|z的等比中项，求| z1818 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）如图，在直三棱柱111CBAABC 中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA，D、E 分别是1CC与BA1的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G（I）求BA1与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（11）求点1A到平面 AED 的距离1919 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）已知已知0c，设，设P：函数xcy 在 R 上单调递减Q：不等式1|2|cxx的解集为 RDEKBCABAFCG如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求c的取值范围2020 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南 102arccos(）方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？2121 （本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知常数0a，在矩形 ABCD 中，4AB，aBC4，O 为 AB 的中点，点 E、F、北东y线岸OPrP45海G 分别在 BC、CD、DA 上移动，且BECFDG BCCDDA，P 为 GE 与 OF 的交点（如图） ，问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由2222 （本小题满分（本小题满分 1212 分，附加题分，附加题 4 4 分）分）（I）设na是集合|22tsts 0且Zts,中所有的数从小到大排列成的数列，OPAGDFECBxy即31a，52a，63a，94a，105a，126a，将数列na各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35691012写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；求100a（II） （本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分）设nb是集合tsrtsr0|222，且,Ztsr中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160kb，求k.20032003 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (全国全国卷卷) ) 数学数学（理工农医类）（理工农医类）答案答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分.1D2C3D4A5C6B7C8D9D10C11B12A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.1322114 （-1，0）157216三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 解：设)60sin60cosrrz，则复数.2rz的实部为2,rzzrzz由题设. 12|).( 12, 12:. 012,421, )2)(2(|) 1)(1( :|2|1|2222zrrrrrrrrrzzzzzzzz即舍去解得整理得即18 （） 解：连结 BG，则 BG 是 BE 在 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC，.32arcsin.3231 36sin. 3, 32,22,2.36321,2)4(. 3, 1,31.,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABDBAEBEGEBGEBBAABCDFCEGEDFDEFFDFDFGEFEFDDFGADBGDECDEFABCDCBACCED（）解：,FABEFEFEDABED又.362 36232222,.,.,.,.,1 1111 1111111111的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AEDAABBAAAKAABAAEDAKAAEDKAKAEKAAEABAAEDABAAEDAEDEDABAED19解：函数xcy 在 R 上单调递减. 10c不等式. 1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为RcxxyRcxx22 ,2 ,|2 |2 ,2 ,|2 |2 . 1|2 | 121.2 1,0.2 1,1.(0, 1,).2xc xcxxccxcyxxcRcxxcRccPQcPQcc 函数在 上的最小值为不等式的解集为如果 正确 且 不正确 则如果 不正确 且 正确 则所以 的取值范围为20解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.在时刻： （1）台风中心 P（yx,）的坐标为 .22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是,)()()(22tryyxx其中,6010)(ttr若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222tyx即22)22201027300()2220102300(tt2412, 028836,)6010(22tttt解得即答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.21根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点 P 到两点距离的和为定值.按题意有 A（2，0）