1984年 第 二期一Za=0,尽一2 于是,当cos月、即a二牟时,4R“月。_ 、_,一一自 “,一么, 2_月、又1一U心万二j 艺史类)试题五面积 最值答案。(四 )当扇形中心角月任(o“ ,90。时,两类内接拒形面积最大值的比较。设第一类内接矩形面积的最大值为8:,第二类内接矩 形面积的最大值 为S:,则8。值=一-赢覃一一 艺。2_:_尽 = =j为U匕1一.任R“西1=Z,月 七g下二, 乙。:二R:tg早.任8.一4一尸、g一牛叭.毛一工下面我们取尽的特殊角,计算1的最小值及8的最大值。(1)月二60。时,1,卜 汽二丫万R了厄二又夕百二(了百一1 )R,S:从=R忍七9 15“二(2一了百)R“。p .:tg万=百,日任(o。,904.。,、_月/1.oU、g, 丁、1, 任即得。警2g号声一2而烤从、气=R侧3一侧5=匕亚二、匕亘R,2SL七舰=R2tg2 2030= =(、/百一1)RZ。时,(即半圆面)R侧了灭花下花二二R .“:g鲁=52,显然,此 时内接矩形缩/ 子成一条线段。_/ 8:大、=RZ/L_、 tg 45。=R2.(矩形的卜一一泌黔一一州长和宽分别为了ZR与、丝R)此时即为一九八三年高考数学(文2即S:S:.由此可知,第一类内接矩形 面积的最大 值大于第二类内接矩形面 积的 最大值(此 时日(o“,9 0“).这个结论十分有趣,也有一 点实用价值。(作者单位:江苏省吴县 望亭中学)韦 达定理在解析几何解题中的应用张家国韦达定理是代数中的一个重要定理,它在解析几何中也有广泛的应用。在解析几何 复习中对学生加强 用韦达定理解题的指导是很必要的。为此目的,笔者试图通过几例来说明用韦达定理解题的一般特征和规律,仅供参考。一、韦达定理和直线的参数方程合用1.求线段乘积例1.在以原点O为中心的椭圆 上任取两_。、卜、一1.1点P、Q ,设 匕P oQ“会试证:旅厄舜为一定值。证设椭圆方程为纂十蓄二1,乙XOP=口,则OP和OQ所在直线的参16巾等数学数方程分别为丁x二)“9“夕、y二毛5lf l以七么+2华擎弊竺二具擎粤旦函tD“COS“众一 a“S ln以、。(x=七c。(言+“),y=,。in(普+“)b“hZ一a“k“一aZb“bZeo s“a一a28主n“a二0.将代人,得七“+2(b2he osa一a“ksina)把和分别代人b2e o sZa一a“sin“a式,得,(b2eo sZ夕+ a“sin“8)一tZ一a“b“=0,b“hZ一aZk“中i , 万一 甲一刁一一一甲下厂一下一二.D“C08一众一 a“Sln“若式t的两根为t工和tZ=0.式两根为(b“5in“0+ a2eo 820).tZ一a“b“=0. 式中t的两根为t,和t:,则It,l二l七:.式中t的两根为七3和七,则t31=l七41.由t的几何意义 和韦达定理,从式得,七3和七,则 七1一t:=PRI,t:一t!=SQ.或It,一七31=1SQI,t:一t=】PR】.由韦达 定理,从式和式得七,+七:=一2(b“heosa一aZksina)OPZ=t;b“eo s“a一a28inZa=t3+t。. I t r t=l七;从式得,七:!OQ“=一:a“bZbZe o3“8+ a“sin“8I七3所以,七,一七。=t一t。!t:一t3】=t:一七!.故PRI=1SQ,=l一L3所以t4a“b“b2sin“8+a“eo总28即夹于曲线和渐近线间的线 段相等。1.1 二 石, 二 二 蕊十之二一二犷不 U尸UQ3.求曲线f (x,y)二0的切线方程a“(e o 820+8in20)+bZ(sin“8+e o g20)a“b“a么+b“a“bZ(定值)2.求直线在曲 线中的截线长例2一直线截一双曲线及它的渐近线,证明夹于渐近线与曲线 间的线段相等。证设 双 曲线为b“x“一a“y“=aZb“, 则它的渐近 线是bZx“一a“y“二0.例3.求经过A(一6,3)且切抛物线2y2二gx的直线方程。解设所求的切线方程为图3x=一6+cosa,y=3+七5in“.又设直 线 为X二卜+C。“以,y二K+七5lf la。(h、k、七、a都是变数)直线 交双 曲浅 于P、Q两点,交渐近线于R、S两点.将 代入 得把式代人抛物线方程,消去x、y得2七2sin“a+(Zsin以一ge o s“) 七+7 2=0。 由切线定义 和L的几何意义知,式中 的t有等根,所以有(12sina一geosa)“一4.(ZsinZa)72=0。解式得 4一5.,一3一石纽艺CO S戊二 :,。= 1984年 第二 期C O 居侧= 和5In以二4了171侧17(XZ,y:),则x:和x:是方程(3)的两根,y工和yZ是方程的两根。设AB中点坐标为(x,y),则由中点公式 和韦达定理得,把和代人 式,得所求切线的参数1,_入二百、入十入“夕=方程 为x=一。一告y=3蚤;k+l21_y=百(y:+yZ)二k+1。一、,k十性汀l认y=不丁 若k+12一l)X、一6+一生t 了171 十一L. 训17化成一般式 为3x+4y+6=0和x一4y+18二0.4.求圆的切线长例4.求圆外一点P (xl,y:)到圆(x一a)“+(y一b )“=r的切线长。解设经 过P (x,y工)点的直 线 的参数方程为=x(Zx一1),即AB中点轨迹为抛物线:y=2x2一x.例6.证明 双曲线中一组平行弦 的中点在 一条直 线上。证设 双曲线的方程为b“xZ一a“yZ=a“b“.3犷子.,、 、 和一至:平行弓 、的方程为x=h+teo sa,(。为y=k+七5ina.x=x,+七e o so,y=y:+tsins.把(1)代人圆的方程并整理得,乞2+2(x:一a)e o so+(y;一b)sino七+(x,一a)2+(y,一b)“一rZ=0. 若所求切线长为l,则由式中七的几何意义、韦达定理和切割线 定理可知,12=(x:一a)2+(y;一b)“一r2.所以l=侧(x工一a)“+(yl一b)“一r“.二、韦达定 理 和中点公 式合用例5.通 过原点任作直线与 抛 物线yZ=xZ一x+3相交于A、B两点。求AB中点之轨迹。解设 过原点的直线方程为y=kx.(k为参数)则A、B两点坐标是方程 组定值) 又 设P工(x:,y:),PZ(xZ,洛:2)是h=h:,k二k;时某一弦与双曲线的两交点,即弦的两个端点。则P工PZ所在 直线的方程是:“二)CO“”y二Kz+屯5Inaz。把式代人式,整理得,:2.2(b“h,e os“,一a“k;sina,)i甲一一,了一一一一万下. ,了一 D一CO尽一戊:一 a一8lf l一戊-.b“h;2一a“k,“一a“b“_二 个f石-一甲 石一一万 ,下不二U。创 D一COS一以!一a一8111一以1若 式中t的两根 为t工和t:,则x=h,+t,e o sa,y:=k,+t,sjn“,x:=h,+t2eo s“,y:=k,+七Zsin以,.若P;P:的中点为P(x ,y/),则 由 中 点公式得Xl+xZ,二hl+合“!+2,C OS“1,i一2 一一夕护 X( y=kx,、y=x一x十3卿 的解。由和消去y得x“一(k+1)x+3=0.由和消去x得 y“一(k+1)k手+3k=0.若A、B两点的坐标分别为(x,y;)_,_1,_、,_.1,1、_,_J=育、Jl宁洲Zj=入z一二气Lz+L么)名 1 11乙乙由韦达定理 从式得“l。18甲等致字 、. . . 一一一一一2(a“k,5in“,一bZh,e osa:)、 卜1十毛2=一币而-一一一飞一一歹下二石-、g夕 D“C 08一az一a一81f l一az把式代人得玩一.8 1x,=h,+a“k1sina,一bZ CO Salb“e osZ“1一aZsinZazC O S“1y/=kl弓:豁会只攀默黯 介5ll laz 从式消去h工和k工,得,bze o s“,x,一aZsina:y,=o,即y,=互护甲些x.a“8If l优z又以r为半径的一组 圆的方程是(x一。)“+(y一月)“=r“, 此 处a,月为参数。自和分别消去y、x得x一2“x“+(“+日“一r“)x“一2月kx+k“=0, 和y一Zpy“+(aZ+日“一 r“)y“一Zaky+k“=0.以(x,y,),(x:,y:),(x。,y。),(x4,y4)分别表示P、Q、R、S四点的坐标,则x工,x:,x3,x将是的 根;y,yZ,y3,y4将是的根。因x尹和y产都是变数,又恒有式成立,、目、斗口。b“c o s“:。 且蕊、。、“郁足 正1且,卜目瓦厄蕊I而丁二J l足由韦达定理得,4 (x,+xZ,卜x。+x)2一2艺x,x:定值,所以这组平行弦的中点轨迹是y=mX。显然,这是过 原点的一条直线,所以这 组平行弦的中点都在一条直线 上。三、韦达定 理 和两 点间 的距离公式合用例7.以 定点C为中心的一组位似直角双曲线中的一个与有定半径r的一组 圆中的 一个交于P、Q、R、S 四点。试证:P C“+QC“+R C“+S C“为定值。证以定点C为原点,直角双曲线的两 条渐近线为坐标轴,则这组位似直角双曲线方程可写作xy二k,此处k是参数.=(Za)2一2(aZ+月2一r“),即xl “+x。“+x3“+x 2=2(a“一月2+r“).同理yl +yZ“+y32+y42=2(日“一a“+r“).所以,x,“+y,“+xZ“+yZ “+x。 “+y52+x4 2+y 2=4r2.由两点 间距离公式,知PC“=x工 “+y,2,QC“=x:“+y:“R C“=x3“+y。“,S CZ=x4“+y 2.所以,PC“+QC“RC么+S C“=4r2为常数。(作 者单位:辽宁省 昌图县教师进修学校)怎样 求无理不 等 式 的 解秦雪生无理不等式类型繁多,求解 时容易疏漏 出错,难度较大。木文就比较简单的无理不等式,归纳若干解法,供参考。(一)应用算术根概念求解算术根是非负实数,由此可 以直接确定一类特殊无理不等式的解。例1.解不等式1一训l一4x“(3(1)解父未知数x的允许值集为一音“