数学模型及其应用 第一讲第一讲 认识数学模型认识数学模型 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 一、数学模型简介 二、简单的数学问题 三、示例1：椅子能放平吗？ 四、示例2：人口增长的预报 五、数学建模的方法和步骤 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 一、数学模型简介 使用教材使用教材 1.姜启源.数学模型(第三版).高等教育出版社.2003年 姜启源.数学模型(第四版).高等教育出版社.2011年 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 一、数学模型简介 建议建议阅读的参考书目阅读的参考书目 1.朱道元等. 数学建模案例精选. 科学出版社. 2003年 2.韩伯棠 吴祁宗 李金林.管理数学. 北京理工大学出版社 3.运筹学教材编写组编.运筹学(第四版). 清华大学出版 社.2012年 4.线性代数戒高等代数 5.高等数学戒数学分析 6.常微分方程 7.概率论不数理统计 8.经济学 9. 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 一、数学模型简介 数学模型数学模型的内容的内容 第一章 建立数学模型 第二章 初等模型 第三章 简单的优化模型 第四章 数学规划模型 第五章 微分方程模型 第六章 稳定性模型 第七章 差分方程模型 第八章 离散模型 第九章 概率模型 第十章 统计回归模型 第十一章 马氏链模型 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 一、数学模型简介 什么是数学模型什么是数学模型 玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型 地图、电路图、分子结构图 符号模型 我 们 常 见 的 模 型数学模型及其应用 数学与计算科学学院 一、数学模型简介 什么是数学模型什么是数学模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 一、数学模型简介 什么是数学模型什么是数学模型 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 数学模型(Mathematical Model) 数学建模(Mathematical Modeling) 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 二、简单的数学问题 问题一问题一 已知甲桶放10000个蓝色的玻璃球，乙桶中放有10000个 红色的玻璃球，任取甲桶中100个球放入乙桶中混合后再 任取乙桶中的100个球放入甲桶中，如此重复三次。问甲 桶中的红色球多还是乙桶中的蓝色球多？ 解解: :设甲桶中有设甲桶中有x x个红色球个红色球, ,乙桶中有乙桶中有y y个蓝色球，由于两个个蓝色球，由于两个 桶中的蓝色球总数为桶中的蓝色球总数为1000010000个，则有个，则有 1000010000yx 从而从而 yx 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 二、简单的数学问题 问题二问题二 如图，将图如图，将图A中面积为中面积为1313=169的正方形裁剪成四块几何图的正方形裁剪成四块几何图 形形,然后重新拼接成图然后重新拼接成图B，计算可知长方形的面积为，计算可知长方形的面积为821=168, 比原来的正方形少了一个单位的面积，面积怎么会减少呢？比原来的正方形少了一个单位的面积，面积怎么会减少呢？ 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 13 13 13 图图A 图图B 面积怎么少了？ 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 二、简单的数学问题 问题三问题三 能否将一张纸对折100次? 对折对折1 1次：次：2 2层层= 2= 21 1 对折对折2 2次：次：4 4层层= 2= 22 2 对折对折3 3次：次：8 8层层= 2= 23 3 对折对折100100次次: 2: 2100100 假如普通纸每张厚度为假如普通纸每张厚度为 0.05mm0.05mm，又因为：，又因为： 2 21010=1024=10241000=101000=103 3 故故 2 2100100101030 30 所以所以 2 2100100层纸厚度层纸厚度 0 0.05.0510103030mmmm= =5 5101022 22 kmkm 计算结果为计算结果为5 5万亿亿千米万亿亿千米 注意到: 地球到距太阳不过1.5亿千米！ 所以此问题的答案是否定的。 类似的，在日常生活中有许许多多的实际问题，有些好像 与数学无关，但通过细致的观察分析与假设，都可以应用数 学方法简捷和完美的解决。 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 三、示例1：椅子能放平吗？ 问题分析问题分析 模模 型型 假假 设设 通常通常 三只脚着地三只脚着地 放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四 脚连线呈正方形脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少地面相对平坦，使椅子在任意位置至少 三只脚同时着地。三只脚同时着地。 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 三、示例1：椅子能放平吗？ 模型构成模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置 利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性 x B A D C O D C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地 距离是距离是 的函数的函数 四个距离四个距离 (四只脚四只脚) A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( ) B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( ) 两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零 正方形正方形ABCD 绕绕O点旋转点旋转 正方形正方形 对称性对称性 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 三、示例1：椅子能放平吗？ 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f( ) , g( )是是连续函数连续函数 对任意对任意 , f( ), g( )至少至少 一个为一个为0 数学问题数学问题 已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0. 模型构成模型构成 地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置至少椅子在任意位置至少 三只脚着地三只脚着地 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 三、示例1：椅子能放平吗？ 模型求解模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子将椅子旋转旋转 /2 ，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。 由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0. 令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0. 由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) . 因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0. 评注和思考评注和思考 建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f( ), g( )的确定的确定 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 三、示例1：椅子能放平吗？ 点点 评评 椅子问题的解决抓住了问题的本质，在合理的假设下 (椅子中心丌动，对角线看成坐标轴)，将椅子转动不坐标轴 旋转联系起来,将椅腿不地面的距离用旋转角度t的函数表示， 由三点确定一平面得到 f(t)g(t)=0f(t)g(t)=0，再根据闭区间上 连续函数介值定理 使这个问题解决得巧妙而又简单。介值定理的一个关键条 件的满足是利用了对称性。 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 三、示例2：人口增长的预报 背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况世界人口增长概况 中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律研究人口变化规律 控制人口过快增长控制人口过快增长 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 三、示例2：人口增长的预报 指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 ( (1798) ) 常用的计算公式常用的计算公式 kkrxx)1 (0x(t) 时刻时刻t的的人口人口 基本假设基本假设 : 人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数 trtxtxttx )()()(今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 r k年后人口年后人口 0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0缺点：随着时间增加，人口按指数规律无限增长缺点：随着时间增加，人口按指数规律无限增长! 离散思维离散思维 连续思维连续思维 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 四、示例2：人口增长的预报 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程 1919世纪后人口数据世纪后人口数据 人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) ) 指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 数学模型及其应用 数学与计算科学学院 三、示例2：人口增长的预报 阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) ) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大 假假 设设 ) 0,()(srsxrxrr 固有增长率固有增长率(x很小时很小时) xm 人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） )1 ()(mxxrxr