第十章 相似原理与量纲分析水闸桥梁基本假设 数学模型 解析表达 理论分 析实验研究 模型试验 量测数据 换算到原型 数值计算 数学模型 数值模型 数值解 流体力学的研究方法流体力学的研究方法本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。 以相似原理为基础以相似原理为基础 1、数学分析法：是以数学作为探索自然规律的主要手段，根据所研究的物理现象的特点，分析与该现象相关各物理量之间的依变关系，列出描述该现象的微分方程组，根据边界条件，对方程组进行求解。2、实验法：是指对某一正在发生的现象或正在进行的过程进行系统的观察和参量的测定，再通过对取得的数据进行加工、分析，以找出各参量的分布规律及其相互间的依变关系。实验法可分为原型测试和模型实验两类。原型测试法：就是对正在运行的设备及过程进行实际测试，掌握第一手资料，从而可为设备及过程的最优化提出改进依据。模型实验法：是以相似原理为指导，对所研究的现象建立模型，通过模型实验，定性地或定量地探索各物理参量间的依变关系，找出其内在规律，以这些规律为指导，进行新工艺或新设备的计算及设计。相似原理是指导模型实验的理论基础。第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似第二节第二节 动力相似准则动力相似准则 第三节第三节 近似模拟试验近似模拟试验 第四节第四节 量纲分析法量纲分析法 第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似 第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似 表征 流动 过程 的物 理量 描述几何形状的 如长度、面积、体积等 描述运动状态的如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的如质量力、表面力、动量等 按性 质分几何几何 相似相似运动运动 相似相似动力动力 相似相似流流 动动 相相 似似应 满足的条件基本物理量v1960年10月十一届国际计量大会确定了国际通用 的国际单位制，简称SI制。 vSI制：七个基本单位：长度m，时间s，质量kg， 热力学温度（Kelvin温度）K，电流单位A，光强 度单位cad（坎德拉），物质的量mol v二个辅助单位：平面角弧度rad，立体角球面度Sr 有量纲量和无量纲量：流体力学中任何物理量C的量纲可写成 C= M L T 当、不全为0时，C称为有量纲量。 当、全部为0时，C称为无量纲量或无量 纲数。有量纲量流体力学中的有量纲量可分为三类：1、几何学的量，0，0；2、运动学的量， 0， 0；3、动力学的量， 0。无量纲量第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似一. 几何相似（空间相似） 定义： 模型和原型的全部对应线形长度 的 比值为一定常数 。以下标“ n”、 “ m”表示原型、模 型的有关量 :长度比例尺（相似比例常数） 面积比例尺:体积比例尺:图10-1 几何相似 满足上述条件，流 动才能几何相似 第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相 等，即它们的速度场（加速度场）相似。图10-2 速度场相似 二二 运动相似（时间相似）运动相似（时间相似）第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似加速度比例尺:注：长度比例尺和速度比例尺 确定所有运动学量的比例尺。时间比例尺:速度比例尺:第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似运动粘度比例尺:体积流量比例尺:第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似三. 动力相似（受力相似） 定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对 应瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向 一致、大小互成比例，即它们的动力场相似。 图10-3 动力场相似 第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似又由牛顿定律可知： 其中： 为流体的密度比例尺。 力的比例尺：第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似动力粘度比例尺:功率比例尺:有了模型与原型的密度比例尺，长度比例尺和速度比例 尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。 压强（应力）比例尺 :力矩（功，能）比例尺 :第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。 相似流动必然满足以下条件：相似流动必然满足以下条件： 1任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场 对应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描 述； 2相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解 ，即流动满足单值条件； 3由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是 流动相似也必须满足的条件。第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。第二节第二节动力相似准则动力相似准则 由式由式 ( (4-10) 得得: : （4-15） （4-16） （4-17） 当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即 ；反之亦然。这就是牛顿相似准则牛顿相似准则。 称为牛顿数， 它是作用力与惯 性力的比值。 或或: : 令令: : 一、重力相似准则（弗劳德准则）二、粘性力相似准则（雷诺准则）三、压力相似准则（欧拉准则）四、弹性力相似准则(柯西准则)五、表面张力相似准则（韦伯准则）六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）流场中有各种性质的力，但不论是哪种力， 只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似 准则。第二节第二节 动力相似准则动力相似准则 1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体 运动随时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力 所起的影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v2表示压力和惯性力的比值 4 Renolds 相似准数 Re=ul/= ul/表示惯性力和粘性力之比 5 Mach 相似准数 Ma=v/c表示弹性力和惯性力之比，c为声速，反映了流 动的压缩程度一、重力相似准则一、重力相似准则将重力比 带入式(4-15)得 ：或或: : 令令: : 称为弗劳德数， 它是惯性力与重力 的比值。 当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦 然。这就是重力相似准则重力相似准则（弗劳德准则）。 重力场中 ，则：（a） 改成无量纲数佛劳德数重力的相似准数二、粘性力相似准则二、粘性力相似准则将粘性力之比 带入式(4-15)得：或或: : 令令: : （4-21） （4-22） （4-23） （b） 称为雷诺数， 它是惯性力与粘 性力的比值。 当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则粘性力相似准则（雷诺准则）。 模型与原型用同一种流体时， ，则：无量纲数雷诺数粘性力的相似准数三、压力相似准则三、压力相似准则或或: : 令令: : （4-24） （4-25） （4-26） 当压强用压差代替：将压力比 带入式(4-15)得 ：称为欧拉数，它 是总压力与惯性力 的比值。 当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然 。这就是压力相似准则压力相似准则（欧拉准则）。 （4-27） （4-28） 欧拉数欧拉数: : 欧拉相似准则欧拉相似准则: : 无量纲数欧拉数压力的相似准数改成四、弹性力相似准则（柯西准则）四、弹性力相似准则（柯西准则）将弹性力之比 带入式(4-15)得 ：或或: : 令令: : 称为柯西数，它是 惯性力与弹性力的 比值。 当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即 ；反之亦然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则（柯西准则）。 四、弹性力相似准则（马赫准则）四、弹性力相似准则（马赫准则）若流场中的流体为气体，由于 （ c 为声速） 则弹性力之比 带入式(4-15)得：或或: : 令令: : 称为马赫数，它 是惯性力与弹性力 的比值。 当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，即 ；反之亦然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则（马赫准则）。 称为马赫数，它 是惯性力与弹性力 的比值。 当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦 然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则（马赫准则）。 无量纲数柯西数弹性力的相似准数气体：将无量纲数马赫数弹性力的相似准数（*）代入（*）式，得改成E弹性模量五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则将表面张力之比 带入式(4-15)得:或或: : 令令: : 称为韦伯数，它 是惯性力与表面张 力的比值。 当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即 ；反之亦然。这就是表面张力相似准则表面张力相似准则（韦伯准则）。 六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则或或: : 令令: : 将惯性力之比 带入式(4-15)得 ：称为斯特劳哈尔数， 它是当地惯性力与迁移惯 性力的比值。 当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等 ，即 ；反之亦然。这就是非定常相似准则非定常相似准则（斯特劳哈尔准 则）。 以上给出的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、柯西数、马赫数、韦伯数、斯特劳哈尔数均称 为相似准则数。 如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该 方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是 令方程中的有关力与惯性力相比。第二节第二节 动力相似准则动力相似准则 二、相似准则牛顿数及相似判据v相似准则的导出方法有：v物理法则法；v方程分析法；v量纲分析法。彼此相似的现象必具有数值相同的同名相似准数相似第一定律 必为同类现象，必须服从自然界中同一基本规律 必须发生在几何相似的空间，并且具有相似的初、边值条件 描述物性的参量必须具有相似的变化规律定解问题相似凡同一种类现象，如果定解条件相似，同时由定解条件的物理量 所组成的相似准数在数值上相等，那么这些现象必相似。相似第二定律 同类现象，形式相同的控制方程组第一个必要条件 定解条件相似第二个必要条件 独立相似准数在数值上相等第三个必要条件现象相似的充要条件描述某现象的各种量之间的关系式可以表示成相似准数方程之间的 函数关系，这种关系式称为准数方程，即 相似第三定律 任何定解问题的积分结果都可以表示成准数方程的形式； 便于实验 什么是模型实验：通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。第三节第三节 近似模拟试验近似模拟试验 为什么要进行模型实验 科学研究和生产设计需要做模型实验 ； 并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理 论分析或数值模拟的流动现象都不必模拟实验 。 并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对 其流动现象有充分的认识，并了解支配其现象 的主要物理法则，但还不能对其作理论分析或 数值模拟的