当比较的平均值的数目K3时，不能直接应 用t测验或u测验的两两之间的假设测验方法1、当有k个处理平均数时，将有 个差 数，要对这诸多差数逐一进行检验，程序繁 琐。2、试验误差估计的精确度降低。3、两两测验的方法会随着K的增加而大大 增加犯I型错误的概率。第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析 Chapter 8: One-factor Analysis of Variance(One-Way ANOVA)第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析 方差分析：从总体上判断多组数据平均数方差分析：从总体上判断多组数据平均数 （K3K3） 之间的差异是否显著之间的差异是否显著方差分析将全部数据看成是一个整体，分析构成 变量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体 方差的估值。然后进行F测验，判断各样本的总 体平均数是否有显著差异。若差异显著，再对平 均数进行两两之间的比较。( (by RA Fisherby RA Fisher) )Chapter 8: One-factor Analysis of Variance品 系IIIIIIIVV 164.664.567.871.869.2265.365.366.372.168.2364.864.667.170.069.8466.063.766.869.168.3565.863.968.571.067.5和326.5322.0336.5354.0343.0平均数65.364.467.370.868.6例 调查5个不同小麦品系株高是否差异显著因变量(响应变量):连续型的数值变量株高 因素(Factor)：影响因变量变化的客观条件 一个因素：“品系” 单因素方差分析 水平(Level)：因素的不同等级 不同“处理” 五个水平：品系I-V 重复(Repeat)：在特定因素水平下的独立试验 五次重复单因素方差分析的数据形式单因素方差分析的数据形式X因素的a个不同水平（处理）每 个 处 理 下 n 个 重 复方差分析原理方差分析原理线性统计模型：线性统计模型：模型中的模型中的x xij ij是在第是在第i i次次处理下的第处理下的第j j次观测值。次观测值。 是总是总 平均数。平均数。i i是对应于第是对应于第i i次处理的一个参数，称为次处理的一个参数，称为 第第i i次处理效应次处理效应( (treatment effecttreatment effect) )。ij ij是随机误差，是随机误差， 是服从是服从N N(0(0，2 2) )的独立随机变量。的独立随机变量。方差分析原理方差分析原理 固定因素：固定因素：因素的因素的a a个水平是人为特意选择的。个水平是人为特意选择的。 方差分析所得结论只适用于所选定的方差分析所得结论只适用于所选定的a a个水平。个水平。 固定效应模型：固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。处理固定因素所使用的模型。 随机因素：随机因素：因素的因素的a a个水平是从水平总体中随机抽取的。个水平是从水平总体中随机抽取的。 从随机因素的从随机因素的a a个水平所得到的结论，可推广到该个水平所得到的结论，可推广到该 因素的所有水平上。因素的所有水平上。 随机效应模型：随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。处理随机因素所使用的模型。固定效应模型固定效应模型 其中其中 i i是处理平均数与总平均数的离差，因这些离是处理平均数与总平均数的离差，因这些离 差的正负值相抵，因此差的正负值相抵，因此如果不存在处理效应，各如果不存在处理效应，各i i都应当等于都应当等于0 0，否则至，否则至 少有一个少有一个i i00。因此，零假设为：。因此，零假设为： H H0 0： 1 1 2 2 a a0 0备择假设为：备择假设为： H HA A： i i 0 0（至少有一个（至少有一个i i）固定效应模型固定效应模型 平方和与自由度的分解平方和与自由度的分解 固定效应模型固定效应模型=+平方和 的分割总平方和处理平方和误差平方和=+自由度 的分割总自由度处理自由度误差自由度处理均方误差均方固定效应模型固定效应模型单因素固定效应模型的方差分析表处理效应对均方的贡献固定效应模型固定效应模型 方差分析统计量：方差分析统计量：若零假设成立，不存在处理效应，则组内变异和组间变异都 只反映随机误差( )的大小，此时处理均方 ( )和误差均方( )大小相当，F 值则接近1，各组均数间的差异没有统计学意义；反之，如果存在处理效应，则处理变异不仅 包含随机误差，还有处理效应引起的变异 ( )，此时F值显著大于1，各组均数间的差异有统计学意义。故依据 F 值的大小可判断各组之间平均数有无显著差别。固定效应模型固定效应模型 平方和的简易计算平方和的简易计算 C称为校正项。误差平方和SSe SSTSSA 减少计算误差 利于编程品 系IIIIIIIVV 164.664.567.871.869.2265.365.366.372.168.2364.864.667.170.069.8466.063.766.869.168.3565.863.968.571.067.5和326.5322.0336.5354.0343.0平均数65.364.467.370.868.6例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表： F4,20,0.052.87，F4,20,0.014.43。F F0.01， P0.01。因此，上述5个小麦品系的株高差 异极显著。方差分析表随机效应模型随机效应模型其中处理效应其中处理效应 i i为随机变量，服从为随机变量，服从 =0=0的的独立正态分独立正态分 布，其方差为布，其方差为在随机效应模型中，对单个在随机效应模型中，对单个 i i的检验是无意义。若的检验是无意义。若 假设不存在处理效应，则假设不存在处理效应，则 i i的方差为零，即零假设的方差为零，即零假设 为：为： 备择假设为：备择假设为： 随机效应模型随机效应模型单因素随机效应模型的方差分析表随机效应与固定效应的方差分析的比较 程序相同； 获得数据的方式不同；假设不同；均方期望不同； 适用范围不同。方差分析应具备的条件方差分析应具备的条件1 1、可加性、可加性( (AddictivityAddictivity) )：各处理效应与误：各处理效应与误 差效应是可加的。差效应是可加的。=+平方和 的分割总平方和处理平方和误差平方和处理项与随机误差项的交叉乘积和 = 0方差分析应具备的条件方差分析应具备的条件2 2、正态性、正态性( (NormalityNormality) )：: NID(0, : NID(0, 2 2) )应该是随机的、彼此独立的应该是随机的、彼此独立的, ,服从正服从正 态分布。态分布。正态性不满足：但处理的误差趋向于处理平均数正态性不满足：但处理的误差趋向于处理平均数 的函数关系。例如，二项分布数据，平均数期望为的函数关系。例如，二项分布数据，平均数期望为 ，方差期望为，方差期望为(1-)/n(1-)/n，方差与平均数有函数关，方差与平均数有函数关 系。如果这种函数关系是已知的，则可对观察值进系。如果这种函数关系是已知的，则可对观察值进 行反正弦转换或对数转换、平方根值转换，从而使行反正弦转换或对数转换、平方根值转换，从而使 误差转化成近似的正态分布。误差转化成近似的正态分布。方差分析应具备的条件方差分析应具备的条件3 3、方差齐性、方差齐性( (HomogeneityHomogeneity) )：方差分析中的误差项方差是将各处理的误差合并而方差分析中的误差项方差是将各处理的误差合并而获得一个共同的误差方差，因此必须假定资料中有获得一个共同的误差方差，因此必须假定资料中有这样一个共同的方差这样一个共同的方差2 2存在存在( (BartlettBartlett检验法检验法) )如果各处理的误差方差不齐，则在假设测验中处理如果各处理的误差方差不齐，则在假设测验中处理效应得不到正确的反映。效应得不到正确的反映。单因素方差分析的单因素方差分析的SPSSSPSS实现实现例例8.18.1：小麦株高与品系的关系研究：小麦株高与品系的关系研究- -单因素固定模型的方差分析单因素固定模型的方差分析 SPSS one-way ANOVA outputSPSS one-way ANOVA output单因素方差分析的单因素方差分析的SPSSSPSS实现实现F4,2042.279，P0.0000.01。因此，上述 5个小麦品系的株高差异极显著。Between Groups: 处理间 Within Groups: 处理内多重比较多重比较 当方差分析拒绝当方差分析拒绝H H0 0，为探究具体是在哪些组，为探究具体是在哪些组 对之间存在显著差异，须对各处理平均数之对之间存在显著差异，须对各处理平均数之 间进行逐对比较，即间进行逐对比较，即多重比较多重比较（multiple multiple comparisoncomparison） post-ANOVA analysis (Post post-ANOVA analysis (Post Hoc test)Hoc test)。 如何进行多重比较？如何进行多重比较？逐对进行双样本的平均数差的t-检验？ 增大了犯I型错误的概率，不可取 多重比较方法：多重比较方法： 最小显著差数（最小显著差数（LSDLSD）检验）检验 Student-Newman-KeulsStudent-Newman-Keuls（SNKSNK）q q检验检验 Duncan Duncan 检验检验 Dunnett tDunnett t检验检验 Tukey Tukey 检验检验 多重比较多重比较多重比较多重比较 最小显著差数法（最小显著差数法（Fishers Least significant Fishers Least significant difference testdifference test， LSDLSD） 是是t t检验的变形，在变异和自由度的计算上检验的变形，在变异和自由度的计算上 利用了整个样本信息，而不仅仅是所比较利用了整个样本信息，而不仅仅是所比较 两组的信息。两组的信息。 检验的敏感度最高，倾向于得出差异显著检验的敏感度最高，倾向于得出差异显著 的结论，在比较时仍然存在放大的结论，在比较时仍然存在放大1 1型错误的型错误的 问题。问题。多重比较多重比较 最小显著差数法（最小显著差数法（LSDLSD） 当 时，当差异显著时，当差异不显著时，多重比较多重比较- - Duncan multiple range testDuncan multiple range test*梯形列表法显示结果多重比较的多重比较的SPSSSPSS实现实现例例8.18.1：小麦株高与品系的关系研究：小麦株高与品系的关系研究- -多重比较多重比较Post Hoc Test多重比较的多重比较的SPSSSPSS实现实现SPSS Duncans test output (1)SPSS Duncans test output (1)结果的解读：除品系1、2之间外，其它各品系间均 存在显著差异。多重比较的多重比较的SPSSSPSS实现实现SPSS Duncans test output (2)SPSS Duncan