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概率论与数理统计公式概率论与数理统计公式大全大全 第第 1 1 章章 随机事件及其概率随机事件及其概率 (1)排列 组合公式 )!(! nmmPnm 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!( ! nmnmCn m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 (2)加法 和 乘 法 原 理 加法原理(两种方法均能完成此事) :加法原理(两种方法均能完成此事) :m+nm+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) :乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) :m mn n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种方法来完成,则这件事可由 mn 种方法来完成。 (3)一些 常见排列 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题 (4)随机 试 验 和 随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 (5)基本 事件、样本 空 间 和 事 件 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有 如下性质: 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。 一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母 A,B,C,表示事件,它们是的子集。 为必然事件, 为不可能事件。 不可能事件()的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理, 必然事件( )的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 (6)事件 的 关 系 与 运算 关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分, (A发生必有事件B发生) : BA 如果同时有BA,AB ,则称事件A与事件B等价,或称A等于B: A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A 与 B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者BA,它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生:AB,或者AB。AB=,则表示 A 与 B 不可能同时发生,称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率:(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率:11iiiiAABABA,BABA (7)概率 的 公 理 化 定义 设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数 P(A),若满 足下列三个条件: 1 0P(A)1, 2 P( ) =1 3 对于两两互不相容的事件1A,2A,有 11)(iiiiAPAP常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。 (8)古典 概型 1 n21,, 2 nPPPn1)()()(21。 设任一事件A,它是由m21,组成的,则有 P(A)=)()()(21m =)()()(21mPPP nm基本事件总数所包含的基本事件数A (9)几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀, 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述, 则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A, )()()(LALAP。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。 (10)加法 公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时,P(A+B)=P(A)+P(B) (11)减法 公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时,P(B)=1- P(B) (12)条件 概率 定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)0,则称)()( APABP为事件 A 发生条件下,事件 B 发生的条件概率,记为)/(ABP)()( APABP。 条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P( /B)=1P(B/A)=1-P(B/A) (13)乘法 公式 乘法公式:)/()()(ABPAPABP 更一般地,对事件 A1,A2,An,若 P(A1A2An-1)0,则有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn )1nA。 (14)独立 性 两个事件的独立性两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP, 则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立,且0)(AP,则有 )()()()( )()()|(BPAPBPAP APABPABP若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独 立。 必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件, P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 (15)全概 公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容,), 2 , 1(0)(niBPi, 2niiBA1 , 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。 (16)贝叶 斯公式 设事件1B,2B,nB及A满足 1 1B,2B,nB两两互不相容,)(BiP0,i1,2,n, 2 niiBA1 ,0)(AP, 则 njjjii i BAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(,i=1,2,n。 此公式即为贝叶斯公式。 )(iBP, (1i,2,n) ,通常叫先验概率。)/(ABPi, (1i,2, n) ,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。 (17)伯努 利概型 我们作了n次试验,且满足 每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生; n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样; 每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为qp 1,用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率, knkknnqpkPC)(,nk, 2 , 1 , 0。 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (1)离散 型随机变 量的分布 律 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率,即事 件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk,k=1,2,, 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出: ,|)(2121kkkpppxxx xXPX 。 显然分布律应满足下列条件: (1)0kp,, 2 , 1k, (2)11kkp 。 (2)连续 型随机变 量的分布 密度 设)(xF是随机变量X的分布函数,若存在非负函数)(xf,对任意实数x,有 xdxxfxF)()(, 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数,简称概 率密度。 密度函数具有下面 4 个性质: 1 0)(xf。 2 1)(dxxf。 (3)离散 与连续型 随机变量 的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()( 积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 (4)分布 函数 设X为随机变量,x是任意实数,则函数 )()(xXPxF 称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。 )()()(aFbFbXaP 可以得到 X 落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间( ,x内的概率。 分布函数具有如下性质: 1 , 1)(0xF x; 2 )(xF是单调不减的函数,即21xx 时,有 )(1xF)(2xF; 3 0)(lim)( xFF x, 1)(lim)( xFF x; 4 )()0(xFxF,即)(xF是右连续的; 5 )0()()(xFxFxXP。 对于离散型随机变量, xxkkpxF)(; 对于连续型随机变量, x dxxfxF)()( 。 (5)八大 分布 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为n, 2 , 1 , 0。 knkk nnqpCkPkXP)()(, 其中nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1, 则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为),(pnBX。 当1n时,kkqpkXP1)(,1 . 0k,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量X的分布律为 ekkXPk!)(,0,2 , 1 , 0k, 则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为)(X或者 P()。 泊松分布为二项分布的极限分布(np= ,n) 。 超几何分布 ),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPn Nkn MNk M 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M)。 几何分布 , 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPk,其中 p0,q=1-p。 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p)。 均匀分布 设随机变量X的值只落在a,b内,其密度函数)(xf在a,b上为常数ab 1,即 , 0,1 )(abxf其他, 则称随机变量X在a,b上服从均匀分布,记为 XU(a,b)。 分布函数为 xdxxfxF)()(当 ax1b。 axb 指数分布 其中0,则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。 X 的分布函数为 记住积分公式: !0ndxexxn 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(x exf, x, 其中、0为常数, 则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为),(2NX。 )(xf具有如下性质: 1 )(xf的图形是关于x对称的; 2 当x时,21)(f为最大值; 若),(2NX,则X的分布函数为 dtexFxt 222)(21)
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