电子科技大学 数学建模 -问题前期分析徐全智教授数学模型(E.A.Bendar 定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内 在规律,做出必要的简化假设，运用适当 的数学工具建立的一个数学结构.问题的前期分析 包括：明确问题、分析条件、分析数据等。为什么问题前期分析至关重要？数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:* 提出问题的人未能清楚地表述问题 . * 不同领域的人交流出现故障.*各领域的应用者提出问题时,未给出恰当 的条件. 对问题进行充分的前期分析以前,过早 着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷 阱,或者偏离解决问题的方向.一. 明确问题例3.3.1 一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇多少推销员的问题征询你的意见. “究竟需要做什么？” 遇到一个新问题时,首先应问自己* 未能准确理解问题.着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行 分析。 原问题“推销员人数问题” 明确为：(1) 不同规模的销售队伍会有什么影响； (2) 怎样从他们的销售工作中获取最大的收益. 明确了工作的目标, 即设置好问题的目标态. 为明确问题 ,可向有关人员询问如下问题：1. 公司的规模有多大？ 2. 该公司的推销员的工作方式？ 推销员人数获取较大的投 入产出比。顾客地域分析确定出各有关因素,画出问题的层次结构图 顾客容量 市场份额 现有定货量潜在转移概率 转变概率 现有潜在二. 条件及数据分析 设置好问题的目标态, 着手工作还需要做 以下工作： 1. 收集必要的资料和数据。 2. 分析现有的数据和条件,使问题进一步明确化. 我国淡水资源有限.节约用水人人有责,洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣例3.3.2 节水洗衣机问题机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要.假 设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程 为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水 加水漂洗脱水(称“加水漂洗 脱水”为运行一轮).请为洗衣机设计一种程 序（包括运行多少轮、每轮加水量等),使得 在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最 少.选用合理的数据进行运算，对照目前常用 的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果出 评价.*衣服的洗净效果指标(包括污物和残留洗涤 剂)； *不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量C； * 洗衣机的最高水位H、最低水位L； * 各类污物(泥土、油腻等)和洗涤剂在水中的溶解特性。 怎样收集数据和资料？ 分析：题目中没有一个数据,但问题却需要比较多的数据及条件,如 可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、 通过试验来得到。 收集数据应列入工作计划，并注意： 1. 向有关人员调查情况应事先设计好问题； 2. 事先确定所需资料清单、资料来源、收集方式。 有条理的收集计划可以为后期的工作 创造良好的条件 对收集到的或者现有的资料和数据要做 仔细分析，使问题进一步明确. 为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.例3.3.3 最优捕鱼策略 考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分 4个年龄组，称1龄鱼，4龄鱼,各年龄组每 条鱼的平均重量（单位：g）分别为5.07、 11.55、17.86、22.99，各个年龄组的鱼的自然 死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵 繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105个,3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼 不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵 孵化并成活为1龄鱼,成活率（1龄鱼条数与产卵 总量n之比）为1.221011/（1.221011+n） 渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正 比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm 网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼，其两个强度系数之比为0.42 : 1.渔业上称这种方式为固定努力捕捞.建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每 年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变), 并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总 重量)渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合 同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大 破坏.已知承包时各年龄组鱼群的数量分别 为:122, 29.7，10.1，3.29（109为）条）， 如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司 应采取怎样的策略才能使总收获量最高. 分析：此题中的数据、条件特别多,有的 难于把握, 有的会直接影响到所建模型是 否正确.1. 捕捞强度系数 q 单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比 例系数 可否理解为捕捞量占总鱼群量的百分率？ 否！将捕捞强度系数 q 的定义用数学表达式写出.设i 龄鱼在t ,t+t时间段内由捕捞产生的变化量（捕捞量）为 单位时间的捕捞量是 对任何时间间隔 t都有 令t 0 ,得到微分方程 2. 考虑 q 是否有量纲（或单位）？思考：1. 此模型可与哪一个模型类比？3. 怎样理解捕捞强度系数q？2. 自然死亡率r (0.8（1/年）)是否理解为鱼死亡的概率为0.8 ？不对！类似于人口增长模型中的“自然（相对）增长率” ，理解为鱼群未受其他外界影响下的“自然增长率”.即单位时间内死亡鱼的数量与鱼的总量之比，可得描述鱼群自然死亡的微分方程：请考虑在捕捞的情况下，鱼群数量变化的规律？ 思考：3. 成活率c 的影响 成活率c 为1 龄鱼条数与产卵总量n 之比c =1.221011/（1.221011+n）设t 年的产卵量为n，则t + 1年的1 龄鱼数 目为N1(t+1)= n c 因3、4龄鱼的数量级及产卵量的数量级分别是 109 和1014 n1.221011当 n 变动(即N3(t), N4(t)变动)时N1(t+1)的反应不敏感. 说明下一年1 龄鱼的成活率使得鱼群对于 捕捞量有一定的适应能力.N1n0充分分析正确理解数据和条件 可以进一步明确问题 。5. 哪些条件是可以变动的？等等。2. 数据来源是否可靠？3. 所给条件有什么意义？4. 哪些条件是本质的？还应该分析1. 从数据中可得到什么信息？