第一讲数学模型与数学建模现代数学： 在理论上更抽象；在方法上更加综合；在应用上更为广泛。一、 现代科技人员应具有的数学能力* 数学很重要的一方面在于数学知识与数 学方法的应用. *更重要的方面是数学的思维方式的确立 .21世纪科技人才应具备的数学素质与能力 数学运算能力 逻辑推理能力数学建模能力数据处理能力空间想象能力抽象思维能力更新数学知识能力使用数学软件能力二、数学模型与数学建模数学模型(Mathematical Model):重结果；模型:所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质。* 对实体本身的模拟 如:飞机形状进行模拟的模型飞机；数学建模(Mathematical Modeling):重过程.* 对实体某些属性的模拟 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； * 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象 任何一个模型仅为一个真实系统某一方面的理想化，决不是真实系统的重现.数学模型(E.A.Bendar 定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。数学模型是现实世界的简化而本质的描述。是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系 的理想化表述.治愈 瘫痪 死亡 状态（可能）行动 （人能控制）等待 治疗例1 大夫的决策问题此模型(数学结构)表达了大夫能做什么, 可能出现的结果.可帮助我们明确大夫的决策取决于目标的 设定及治疗原则等.数学模型是思考的工具 构造一个数学模型可帮助我们进行交流、获得理解、加强对所采取的行动及结果的 预测能力，它应有助于思考过程.例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生 产和销售的数学模型，是为了获取尽可能 高的经济效益.例3.生物医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药物的疗效，从而有效地指导临床用药.诺贝尔经济学奖获得者建立了大量的数学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：人类时间价格模型；教师与毕业生的增长模型；房屋出售问题模型；最优消费和组合投资问题；Selton 连锁店博弈模型；平稳人口模型；固定汇率和浮动汇率的货币动力学人类时间价格的度量；考虑技术进步的生产函数.数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁。现 实 世 界数 学 世 界建立数学模型推理 演绎 求解 翻译为实际解答实际解答：如对现实对象的分析、预报、决策、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界一个较热的物体置于室温为180c的房间 内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多 少时间？10分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的 物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变 化速率正比于T与周围介质的温度差。作案时间的确定 三、建模范例分析：假设房间足够大，放入温度较低或 较高的物体时，室内温度基本不受影响，即 室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律 是一个相当好的近似。建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t0， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为建立微分方程其中参数k 0，m=18. 求得一般解为ln(Tm) = k t+c,代入条件，求得c=42 ，k = , 最后得结果 ：T(10)=18+42 =25.870，该物体温度降至300c 需要8.17分钟. T(t)=18+42 , t 0. 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的 地面上, 问是否总能设法使它的四条腿同时 着地？假设*1 地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地面可用一个连续二元函数 z=z(x, y)表示）*2 相对于地面的弯曲程度, 方桌的腿足够长.*3 将与地面的接触看成几何上的点接触.稳定的椅子建模绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点 旋转，转动角度记为.OABCDAC引进函数变量： f() A、C 两腿到地面的距离之和；g() B、D 两腿到地面的距离之和；由假设*1，f()、g()都是连续函数。 由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能 同时着地，故有 f() g()=0，0，2不妨设 f(0)=0、g(0)0.方桌问题归结为数学问题： 已知 f() 和 g() 都是连续函数, f(0)=0、g(0)0,且对任意0, 2, 都有f()g( )=0， 分析：当=/2时，即AC 和 BD互换位置, 故有 f(/2)0， g(/2)=0令 h()=f()g()，则有求证：存在0，使得f(0) = g(0).因 h() 在 0, /2上连续，根据闭区间 上连续函数的介值定理，存在00,/2， 使 h(0)=f(0)g(0)=0 h(0)0，h(/2)0，f(0) = g(0)因对任意有, f()g()=0 f(0)g(0)=0 f(0)=g(0)=0结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形的桌子，在光滑地面上做原地旋转，在不 大于/2的角度内，必能放平.思考题：任意矩形的桌子会怎样？一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）美国原子能委员会（现为核管理委员会 ）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密 封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300 英尺的海里.他们这种做法安全吗？分析：可从各个角度去分析造成危险的 因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能. 联想：安全 、危险问题的关键*圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒);*圆桶和海底碰撞时的速度有多大？新问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?）可利用的数据条件： 圆桶的总重量 W=527.327（磅） 圆桶受到的浮力 B =470.327（磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位 移满足的微分方程： 方程的解为计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 ?分析：考虑圆桶的极限速度713.86（英尺/秒）40（英尺/秒） 原问题得到解决了吗?极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！ 结论：解决问题的方向是正确的.解决思路：避开求t0的难点 令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度. 代入（1）得两边积分得函数方程： 若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度 v(300).(试一试)* 用数值方法求出v(300)的近似值为v(300)45.41(英尺/秒)40(英尺/秒) * 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而v 增大,y 也增大,可求出函数 y = y(v) 令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出y= 238.4 (英尺)300(英尺)问题的实际解答：美国原子能委员会处理放射性废物的做 法是极其危险的，必须改变.四、数学建模的教与学创建一个数学模型的全过程称为数学 建模，即运用数学的语言、方法去近似地 刻画该实际问题，并加以解决的全过程。数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内 在规律,做出必要的简化假设，运用适当 的数学工具建立的一个数学结构.1. 数学建模极富创造性； 2. 数学建模具有很强的综合性； 3. 数学建模具有很强的实践性 ； 不是数学知识的简单应用：需要全面的综合素质及能力。1. 科学地识别和剖析问题；2. 建立数学模型； 3. 对研究中所选择的模型求解数学问题； 4. 对有关计算提出算法和设计计算机程序； 5. 解释原问题的结论并评判这些结论。建立数学模型是关键而重要的一步.数学建模是所涉及到的纯数学和其它学科 相互作用的一个过程.可概括为五个阶段：学习困难： (1) “学着用”数学和“学习”数学根本不同在于明白在何处用数学，怎样用数 学；(2) 掌握成功运用数学建立数学模型所需的技能与理解数学概念、证明定理、求解方程所需的技巧迥然不同。建议：去做！去实践！ 学着用，干中学！课程特点：以介绍数学建模的一般方法为主线，着重训练运用数学知识建立数学模型的技能技巧，着重能力和相关素质的培养。理解数学知识的基础上，重点是数学方法的掌握、数学思维的建立。 教学目标 培养“翻译”能力 培养用数学思想方法的综合应 用分析能力 培养想象力发展观察力，形成洞察力 培养交流与表达的能力 熟练使用技术手段 科技论文写作能力 努力不一定成功放弃一定是失败