单级倒立摆前言 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论 为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。 控制理论在几十年中，迅速经历了从经 典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 控制理论的发展，起于 “经典控制理论” 。早期最有代表性的自动控制系统是 18 世 纪的蒸汽机调速器。20 世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20 世纪起， 应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战 期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于 反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。至二战结束时，经典控制理论形成 以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经 典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利 用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。设计目的及意义设计目的及意义1） 、理论联系实际，加强对自动控制理论的理解。增强分析问题、解决问题的能力。 2） 、熟悉 MATLAB 软件，掌握它在控制系统设计当中的应用，能熟练进行系统建模、性能 分析、模型仿真等操作。 3） 、用单片机进行编程，实现 PID 的控制算法，了解控制算法的具体实现及单片 机软件仿真过程。开发创新意识，增进对科学技术的兴趣,培养严肃认真的科学态度。1. 倒立摆1.1 倒立摆的概念倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员 顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非 自治不稳定系统。 常见的单级倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成。如下图 图 1-1 单级倒立摆装置1.2 研究倒立摆稳定性的意义倒立摆的研究具有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任何重心在上、支点在 下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，再到机器人行走。都和倒立摆系 统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多应用，如火箭姿态控制、 卫星发射架的稳定控制、飞机安全着陆、海上钻井平台的稳定控制等。 2. 单级倒立摆的数学模型2.1 单级倒立摆的系统描述 只要一提小车倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型，即对应于直流电机 的情况。事实上，小车倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直 流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。本文主要分析由直流电机驱动的小车倒立摆系统。其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取 有效的控制方式才能稳定控制。图 2-1 单级倒立摆系统的原理图 图中 u 是施加于小车的水平方向的作用力，x 是小车的位移， 是摆的倾斜角。若不给 小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方 向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的 状态参数，以保持摆的倒立稳定。2.2 单级倒立摆系统的数学建模为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设: 倒立摆与摆杆均为匀质刚体。 可忽略摆与载体,载体与外界的摩擦，即忽略摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦 力等。2.2.1 结构参数这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图 2-1 所示平面内运动。控制力 u 作用于小 车上。摆杆长度为 2L，质量为 m，小车的质量为 M，小车瞬时位移为 x，摆杆瞬时位置 为（x+2L*sin） ，在外力的作用下，系统产生运动。假设摆杆的重心位于其几何中心。设 输入为作用力 u，输出为摆角 。2.2.2 系统的运动方程图 2-2 小车沿 x 轴的受力分析 图 2-3 摆的受力分析小车沿 x 轴方向的受力分析如图 2-2 所示，根据牛顿第二定律得（2-1）xFMx（2-2）uHMx摆的受力分析如图 2-3 所示，根据牛顿第二定律得 摆杆重心沿 x 轴方向运动方程为（2-3）xFmx（2-4）22sindxLHmdt摆杆重心沿 y 轴方向运动方程为（2-5）yFmy（2-6）22cosdLVmgmdt摆杆围绕重心转动方程为（2-7）GGMJ（2-8）2 sincos12mLVLHL上述方程（2-1）到（2-8）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有项，所 以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。 当 很小的时候,可对方程线性化.由于控制的目的是保持道理摆稳定, 很小,可 以合理的认为 sin 趋于 0,cos 趋于 1,在这些假设条件下,可进行线性化处理有(2-9)uHMx(2-10)HmmL(2-11)0Vmg(2-12)212mLVLHL由上述(2-9)到(2-12)方程,消去 V、H 后,有(2-13)umM xmL(2-14)213 12mLmxmgL再消去 ,得(2-15)13 12mLmM LmM gu即 (2-16)13 12mLmM LmM gu 所以其线性化微分方程为(2-17)2213 12dmLmM LmM gudt 经拉氏变换后,得其传递函数(2-18) 21 13 12sG su smLmM L smM g3. 单级倒立摆控制系统上一章节已经得出单级倒立摆系统的传递函数,但仅仅得出其传递函数是不够的,还 需要对其进行校正.3.1 基本的 PID 校正具有比例积分微分控制规律的控制器，称 PID 控制器。当利用 PID 控制器进行 串联校正时，除可使系统的型别提高一级外，还将提供两个负实零点,从而在提高系统动 态性能方面，具有很大的优越性。因此，在工业过程控制系统中，广泛使用 PID 控制器。 PID 控制器各部分参数的选择是根据系统现场调试最后确定。所有的 PID 控制器都有可以分解成给定值控制单元，PID 作用单元及手动/自动转换 单元等三个主要单元，如图 3-1 所示。图中，给定值单元接收工业控制过程的测量量 c，以及控制装置的给定值。PID 作用单元接受给定值控制单元产生的误差信号 e，并 按给定控制律算出闭环控制信号。手动/自动单元在“自动 A 位置时，将 PID 单元的输出 信号送入工业过程，此时工业过程在闭环中受到控制；而在“手动 M 位置时，把用户直接 在控制器上调整手动输出信号送至工业过程，此时系统采用开环控制方式。图 3-1 PID 控制器原理性结构P、I、D 三种基本控制规律,各有特点，综合起来其实用 PID 控制器的传递函数可以表示为(3-1) 111c cFD iMsGsKsTR sC ssT或者表示为(3-2) 11c cFD iMsGsKsTR sC ssT上述两式中的 KF、Ti和 TD是根据工程实际来确定的系数。而 PID 单元的原理电路如图 3-2 所示图 3-2 PID 单元原理电路 3.2 系统的校正控制设计3.2.1 系统的校正 所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系 统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。控制校正系统的目的是使系统动 态稳定，即保持倒立摆在垂直的位置，使小车在外力作用下其位移以较小的误差跟随输 入的变化。由于系统的动态响应主要是由它的极点位置决定的，而假如系统是状态完全 能控的，即可使系统得到良好的动态性能。 我们在第 2.2.2 节中已对单级倒立摆系统模型的进行了线性化并推导出了其传递函数。 本设计根据被控对象及技术指标要求采用 PID 串联校正。 系统的小车质量为 M2.00kg，摆的质量为 m0.20kg，摆长为 2L=0.80m，重力加 速度 g=9.8m/s2,代入公式(2-18)中,得(3-3) 221 4.643G ss系统开环特征方程为.由特征方程可以看出系统不稳定.224.6430s 根据劳思判据,若想使系统稳定,需加入一个反馈环节,还有一个串联环节 12H sK sK.加入反馈和串联环节后,系统的闭环传递函数为 K s 01K s G sGsG s H s 22( ) 4.643K s sH s(3-4)22 12( ) 4.643K s sK sK设 K(s)=-1,K1=-3,K2=-26.5574,则闭环传递函数,即未校正的系统传递函数为(3-5) 021 35Gsss由(3-1)和(3-2)可知,PID 校正控制装置的传递函数为 2111iiF CFD iiT sTsKGsKsTsTTs校正后系统开环传递函数为 0cG sGs Gs211135FD iKsTsssT(3-6)2211 35iiFiT sTK ssTs则系统的闭环传递函数为 1G ssG s(3-7) 232135FiiiFiFiFKT sTsTsKTsKTsK3.2.2 利用 MATLAB 的系统仿真进入 MATLAB 的工作环境之后，通过键盘输入 MATLAB 命令，便可以执行相应的 操作。例如，通过下面的 MATLAB 程序即可获得 G (s)的单位阶跃响应及极零点分布。 s=tf(s)Transfer function: s sys=tf(-1，1 0 29.6964) Transfer function: -1 - s2 + 26.557 step(sys) pzmap(sys) 图 3-3G (s)的单位阶跃响应及极零点分布本实验采用 MATLAB 软件进行仿真实验，进一步验证了 PID 控制器中各个参数对系 统的稳定性和动态性能的影响，在大量的仿真结果中进行比较和挑选，同时根据调节时 间3s 的设计要求，最后确定 PID 控制器的各参数分别为：微分时间系数=1，积分时间系 数 T=1，比例系数 K=20。则系统的闭环传递函数为： 202523202020232 sssss系统的闭环传递函数的单位阶跃响应为图 3-4图 3-4 的单位阶跃响应结论本设计以经典控制理论为基础，建立了小车倒立摆系统的数学模型，使用 PID 控制 法设计出确定参数下的控制器使系统稳定。本设计采用 MATLAB 软件进行仿真实验，进 一步验证了 PID 控制器中各个参数对系统的稳定性和动态性能的影响，在大量的仿真结 果中进行比较和挑选，同时根据调节时间3s 的设计要求，最后确定 PID 控制器的各参数 值，通过 MATLAB 软件的仿真可知，单级倒立摆应用经典控制理论是可以实现的。 设计体会本设计的题目为单级倒立摆经典控制系统 ，在一周的课程设计中。这个题目从概 念性的认识阶段，发展成为实际控制工具。在设计电路原理时，我耐心地查找翻阅了大 量书籍和资料,用经典自动控制理论的知识解决求传递函数和校正装置系数的确定。我学 到很多知识,使我受益非浅。 在我学习的自动控制原理教科书的基础之上，我又学习了其它不同版本的与自 控相关的书籍。从中收集到很多相关课题内容，也使我充分的学习了其它的理论知识， 为将来的学习打下了坚实的基础。 同时，感谢指导教师在设计中给予我的帮助和支持，特此感谢！参考文献1自动控制原理.第四版.科