中北大学理学院力学系中北大学理学院力学系 附录A 平面图形的几何性质 Appendix Properties of Plane Areas A.1静矩和形心静矩和形心 (The first moments of the area & centroid of an area) A.2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 (Moment of inertia & Product of inertia) A.3平行移轴公式平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem) A.4 转轴公式转轴公式 与主惯性矩与主惯性矩(Rotation of axes) A.1 A.1 静矩和形心静矩和形心 一、静矩一、静矩(The first moment of the area ） 截面对截面对 y , z 轴的静矩为轴的静矩为 静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零. O y z dA y z z O dA y z 二、截面的形心二、截面的形心(Centroid of an area) C zy（2）截面对形心轴的静矩等于零）截面对形心轴的静矩等于零. （1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心，）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心， 称为形心轴称为形心轴. 三、组合截面的静矩和形心三、组合截面的静矩和形心 (The first moments ¢roid of a composite area) 由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面. 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截 面对于同一轴的静矩面对于同一轴的静矩. 其中其中 Ai 第第 i个简单截面面积个简单截面面积 1.组合截面静矩组合截面静矩(The first moments of a composite area) 2.组合截面形心组合截面形心(Centroid of a composite area) 第第 i个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标 A.2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 (Polar moment of inertia、Moment of inertia、Product of inertia) y z O dA y z 二、极惯性矩二、极惯性矩 (Polar moment of inertia） 一、惯性矩一、惯性矩(Moment of inertia) 所以所以 y z O dA y z 三、惯性积三、惯性积 (Product of inertia) （1）惯性矩的数值恒为正惯性矩的数值恒为正，惯性积则可惯性积则可 能为正值能为正值，负值负值，也可能等于零也可能等于零； （2）若）若y，z 两坐标轴中有一个为截面的两坐标轴中有一个为截面的 对称轴对称轴，则截面对则截面对y，z轴的惯性积轴的惯性积 一定等于零一定等于零. y z dy dy z dA dA 四、惯性半径四、惯性半径(Radius of gyration of the area) 解：解： b h y z C z dz 例题例题2 求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴y, z轴的惯性矩轴的惯性矩. z y 解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为的极惯性矩为 例题例题3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩. 所以所以 y z O C(a,b) b a 一、平行移轴公式一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of inertia) (a , b ) 形心形心C在在 yOz坐标系下的坐标坐标系下的坐标 A.3 平行移轴公式平行移轴公式 (Parallel-axis theorem) y,z 任意一对坐标轴任意一对坐标轴 C 截面形心截面形心 y z O C(a,b) b a zC yC yC , zC 过截面的形心过截面的形心 C 且与且与 y, z轴平行轴平行 的坐标轴的坐标轴(形心轴）形心轴） Iy , Iz , Iyz 截面对截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积轴的惯性矩和惯性积. 已知截面对形心轴已知截面对形心轴 yC ,zC 的惯性矩和惯性的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的积，求截面对与形心轴平行的 y,z轴惯性矩和轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式惯性积，则平行移轴公式 IyC , IzC , IyCzC 截面对形心轴截面对形心轴 yC , zC的惯性矩的惯性矩 和惯性积和惯性积. 二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩 、惯性积、惯性积( Moment of inertia & product of inertia for composite areas ） 组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积 第第 i个简单截面对个简单截面对 y, z 轴的惯性矩轴的惯性矩，惯性积惯性积. 例题例题4 求求T形截面对其形心轴形截面对其形心轴 yC 的惯性矩的惯性矩. 解：将截面分成两个矩形截面解：将截面分成两个矩形截面. 20 140 100 20 截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴 zC 上上. 取过矩形取过矩形 2 的形心且平行于底边的的形心且平行于底边的 轴作为参考轴记作轴作为参考轴记作 y轴轴. 2 1 zC yC 所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为 y 1z20 140 100 20 y 2 1 zc yC 2z一一 、转轴公式、转轴公式 (Rotation of axes) A.4 转轴公式与主惯性矩转轴公式与主惯性矩 yOz为过截面上的任为过截面上的任 一点建立的坐标系一点建立的坐标系 O y z y1 z1 y1Oz1为为yOz 转过转过 角后形成的新坐标系角后形成的新坐标系 顺時针转取为顺時针转取为 号号 逆時针转取为逆時针转取为 + 号号 已知截面对坐标轴已知截面对坐标轴 y, z 轴的惯性矩和惯性积轴的惯性矩和惯性积,求截面对求截面对 y1，z1 轴惯性矩和惯性积轴惯性矩和惯性积. 转轴公式为转轴公式为 O y z y1 z1 显然显然 二、截面的主惯性轴和主惯性矩二、截面的主惯性轴和主惯性矩(principal axes & principal moment of inertia) 主惯性轴主惯性轴(Principal axes )：总可以找到一个特定的角：总可以找到一个特定的角 0 , 使截面使截面 对新坐标轴对新坐标轴y0 , z0的惯性积等于的惯性积等于0 , 则称则称 y0 , z0 为主惯性轴为主惯性轴. 主惯性矩主惯性矩(Principal moment of inertia) ：截面对主惯性轴：截面对主惯性轴y0 , z0 的惯性矩的惯性矩. 形心主惯性轴形心主惯性轴(Centroidal principal axes) ：当一对主惯性轴的交：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴则称为形心主惯性轴. 形心主惯性矩形心主惯性矩( Centroidal principal moment of inertia) ：截面对：截面对形心主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴的惯性矩. 求出后，就确定了主惯性轴的位置求出后，就确定了主惯性轴的位置. （1）主惯性轴的位置）主惯性轴的位置 设设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角 则有则有 由此由此 （2）主惯性矩的计算公式）主惯性矩的计算公式 （3）截面的对称轴一定是形心主惯性轴）截面的对称轴一定是形心主惯性轴. 过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴主惯性轴. 截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值.即即 求形心主惯性矩的方法求形心主惯性矩的方法 （1）确定形心的位置确定形心的位置 （2）选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴 y,z, 计算计算 Iy , Iz , Iyz （3）确定形心主惯性轴的方位确定形心主惯性轴的方位 （4）计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩 例题例题5 计算所示图形的形心计算所示图形的形心 主惯性矩主惯性矩. 解：该图形形心解：该图形形心C的位置已的位置已确定，如图所示确定，如图所示. 过形心过形心C选一对坐标轴选一对坐标轴 y ，z 轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩(积积). 10 10 120 25 C 40 20 y z 20 35 在第三象限在第三象限 分别由分别由 y轴和轴和z轴绕轴绕C点逆时针转点逆时针转 113.8得出得出. 形心主惯性轴形心主惯性轴 y0 , z0 10 10 120 70 形心主惯形矩为形心主惯形矩为 C 40 20 y z y0 0=113.8 z0 例题例题6 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴. (b=1.5d) 解：解：（1）建立坐标系如图）建立坐标系如图. （2）求形心位置）求形心位置. d b 2d y z O （3）建立形心坐标系，求）建立形心坐标系，求 yC zC C d b 2d y z O yC zC C 便是形心主轴便是形心主轴 便是形心主惯性矩便是形心主惯性矩 所以所以