第?卷第?期申旧种至?辑? ? ! ? ? ?年?月随机删失半参数回归模型中 估计的渐近性质釜王启华郑,患国?中国科学院应用数学研究所?北京? ? ?北京大学概率统计系,北京? ? ? ?摘要设?是表示生存时间并遵从 下面半参数 模型?二郑?十的随机变量,?,?是取值于?阳,?上的随机变量,月是未知参数,?是【?,? ?上的未知回归函数,。是随机 误差?当?因受 某种随机干扰而被随机 右 删 失时,就 删 失分布未知 的情形分 别定义了月与?的估计介。与云,?,在一定条件下证明了户,的渐近正态性,并得到了云。?的最优收敛速度?关锐词随机删失半今教回归渐近正态设?是表示生存时间并遵从下面半参数模型?郑?的随机变量,?,?是取值于?又【?,? ?上的随机向量,月是未知参数,?是定义在?,? ?上的未知回归函数,。是随机 误差,且?。二?,?扩二尹?现设?,?,?,?簇?簇 川是来自模型? ?的一组独 立同分布的 随机 向量,即?召?、?。、,?,?,?,?其中?。?,一?簇?独 立 同分布,?、,了一、?,?毛?毛?与?。?,?成?毛?相互独 立?在一 些实际 问题中,如可靠性寿命试验,医药追踪试验及对生存分析等领域的研究中,?,?簇?簇 川常常因随机右删失而 不能被完全观察,仅能观察到 ?、,占?,?毛?簇 ? ?,其中?、?,?,占、?簇?,?,?,?,?,?簇?镇,?是独立同分布且独立于 ?,?毛?镇 川的表示删失的随机变量列,具有连续的分布函数?当?时,模型? ?即为参数回归模型?关于删失参 数回 归模型已有很多研究?一 ?对删失非参数回归模型,文献【?分别就删失分布已知与未知两种情形定义 了非参数回归函数的一种加权核估计,并研究了它 们 的一些收 敛性质?而在 删 失半参数回 归模型方面,文献 【 ? ? 利用所获得的删失数据,分别就删 失分布已知与未知两种情形 构 造了固定 设 计下半参数回归模型中 月,?的估计,并分别证明了所构造估计的强相合性与? ? ? ?阶平均相? ? 一?一? ?收稿,中国博士后科学荃金与国家自然科学荃金资助项目中国科学?辑?第?卷合性?文献口仅就?已知,假定随机误 差。与?,? ?独 立且?“川? ?十“?。与?独立,川?有界,“的均值为零?,并要求?在给定?,?的条件下分布支撑的上端点 小于?的支撑上端点的情形,定义了模型? ?中参数月的渐近正态估计与?的具有弱相合速度 的估计?一般来说,?通常是 未知的,实际中?已知的情形几乎是不存在的,有时认为?已知,只不过是为研究需 要所作的一种理想假设?这说明研究?未知时召与?的估计是需 要重视的,仅研究删失分布已知的情形是很 不够的,实际上,其研究方法与完 全样本时的方法相比也 没有多大差异?只有研究删失分布未知时的情形才更客观,更具有一般性,才能反映出处理删失数据的特点和技巧,已有文献在研究删失参数回归模型?一?与删失半参数回归模型?“?时都研究删失分布未 知 的情形就是出于此原因,虽然也研究删失分布已知的情形,但并不以之作为最终目的,目的是使之作为研究探讨删 失分布未知时的途径与理论基础?本文就是 在?未 知的情形下 利用随机删 失观察定义了模型? ?中 召与灯?的估计风与云。? ? ,在 适 当的条件下证明了介。的渐近正 态性,并给出了云,?的最优收敛速度?为方便计,本文 约定对任何分布函数?,定义亏?一?,?,对任何?,定义?一?【?一,且 约定 文中的?可表示任何所需的常数?主要结果记?簇?,?簇?,?,?。?。簇?,?镇?,?丁?,?一?镇?,?,介。?一?,。二?,?,?一?一?,?当?未知时,以?一?的? ?一? ?估计?户?、一六?区乙?一、毕熟? , ? ?,一。二一天于?书丙叹瓦?、之作为?一? ? 的估计,其中?二?一艺?、?之记乙。?机? ?一?尺? ?,? ?。?拭? ?一乙,?三 ? ?,戈二戈?艺几,双,这里?嵘?叭? ? ? ? ,叉?、?卜、?子?吝?导?“ 簇,镇一任?,为权函数,?是非负的核函数,?。是趋于零的常数序列?定 义 口,到?的估计分别为月月 风一产菩“乞?。,一菩叽兀乙“。),月 “一歹叭“ z j“。一x j户从上面所定义的估计可以看出,若删失分布已知,只要用z G取代估计中的z、。, i=1,2,。,即得G已知时的估计注意到zi G(i二1,2,)独立同分布,所以正如上面所言:G已知时对估计渐近性质的研究与非删失情形下估计(用矶 (i二1,2,n )取代上 面估计 中第7期王启华等:随机 删失半参数回归模型中估计的渐近性质乙。(i=1,2,n )得到 )的研究方法 没有本质上的差别.而G未知时,估计中的z。(=l,2,n )既非独立又非同分布,研究中牵涉到对随机删失数据的 处理方法和技巧,因而此时对估计的研究将会面临更多的困难.为给出结果,现列 出如下条件:(H;)存在常数 M; 0,M: o及户 0,使得M、I【.“一(p毛K(u) (MZI(“;成p;(HZ)K( .)是一p,p上的有界变差函数;(H3)91(t), 92 (t )与g(t)在【0,1上满足一阶L ipsehitz条件;(氏)T的 密度;(t )连续,且0 ,誉昆f,:r ()蕊,誉怒。r()c o,(HS)s u伪、:、;Ex全 T,二, o o;(H e)注1su伪簇1一。二二EY子(l一G(YI) )3T、一,、1一l一类似于 (践)含有未知G的条件在研究删失参数回 归模型时也经常用 到 (如文献【2和【 4 及其中所列 文献).注2非删失情形可以看作删失发生在无穷远(即G(t )=0, tc o)时的特殊情形,因 而此时条件(氏)即变成s u黝、。、,一c o二c oEY子T,=:,X、二x c o.另一特殊情形是当Y在给定X,T条件下分布支撑的上端点小于G的支撑上端点,在这一情形下 (践)总成立.定理1在条件(Hl)一(氏)下,当 n h,c o时,有石(夕。一, )选N( 0.,一 : ),其中了=E(Xl一Ex,Tl)2,爹=E(X;一E【Xl一T,)2(2IG一xl月一g(Tl) )2 +Z E(X,一Ex1rTl)(X:一EX:1TZ),。(21,占1;22)ZtG ZZG+EE(X:一EX:TZ),。(Z;,占,;22)22。21,占132,_、l厂Z:八 r二,、:_,六,、1,。 _,、一八 夕。(艺1,:;z)=日。 L月L) J一 d月。气)+石了三下IL乙1岌z, d=uJ 、U二 通 l,I定理2在定理1的条件下,对任何t任0,1 ,n充分大时,有云。(t )一g(:)=Op( (nh,)一/, )+Op(n一/, )+Op(h,).推论在定理2的条件下,若取h,二。一/ 3,则对任意取定的t任【0,1 1,充分大时,有云,()一g(t)二Op(n一/,).注3推论中关于云,(t )的 弱相合速度与非删失情形下所获的最优收敛速度相同以 “.2定理的证明引理l在条件(Hl)和(H3)下,存在与t无关的常数 M,使得对任意t任【0, 1 及,二2,均有中国科学(A辑 )第27卷(i) 、(,一乙几,W, ;,gT川、咖。,(11川、1(,)一艺几:w。、 (,)、;(T川、咖。,(1 1 1)、2(小艺, n =,、,川92( T川、咖。.即创门均为被M P ll。所控制的有界随机变量.证仅证( i ),其他类似可证.由(H3)知存在常数M,使得 对任何tl, t:任【0,l ,均 有】g(t:)一g(tZ)】 镇M】r,一t: ,由此及 (H,),知对任意t任o,一及n=一,2,有月月1、(:)一艺w,(:)、(T,)i簇艺w。;(,)g(,)一、(T: ).簇召二1百 =lM泌。艺w,(,)I!一T, !簇动。毛 M砷。.引理2在 条件(H、)和 (H4)下,有(i)EW。(T: ) 2蕊a(n21:。)一,i=1,2,n;z=1,2,卜(11)E W、(T,)簇a(n斗h。)一,i,=1, 2,。.(1 1 1)EW、(t)2簇a(nh。)一,z二1, 2,.证(11 1)和(i)中当i井j时已被 文献7中引理3.7和3.8所证,这里仅证(11),(i)中i时的情形类似可证.应用条件(H,),并注意在下式最后一个不等式中应用文献7 中引理3.6,即得EW蕊T!,簇湍EK( 0 )+艺l (,荞少簇”、 互二-互)一、 (,4、, )一,h, /J这就证明了(i i).引理3在条件(Hl)、 (H3 )和 (H4)下,若Sup,Ex1Tl=t c o,则 当nh。c o时,有1只,p 万。二一乙(2.1)其中, y如 定理1中所定义.证记笋、=X一EX: T, i证 明中对乙几,双的分解,可得1久, 沪又2,。,于是由亏。的定义并稍 改 变 文献 8 引理3的二青客“一青客。R一(2,2 )其中R,镇 :p192 (: )25叩 i、2(,)月 艺W、(:)92(兀)门+)=I 客、(!)一:,青客客二 :, E、,T j卜x j,2“ :p92“,一暮W川“,92T j,由条件sup,Ex资T,=rc o及引理2,可得(青客, )(2.3)n人。c o时,第,期王启华等:随机删失半参数回归模型中估计的渐近性质青玄E客WT*, Elx jT j月月X j,镇凳喜菩EW愁T! 蕊。“0.由此即知nh。c o时,有 青客弃W(T “戈兀戈)止与。(2.4 )又由强大数定律,得l心,一之J尹下 n不丁二卜 E(x,一Ex;一Tl),(2.5)于是 (2.2 )一(2. 5 )式与引理l推出引理3.定理1的证由于夕一“一亏“菩“【Z。戈月一乙w、(T )乙。一、 . 召f.矛“;2客X、一ELX、, T、,(ZX尹一g(T、 )+G。吊兽乞 晋 夕Z“、割产割( Z;。一Z;G )(ZG一X尹一g(T、 ) )+、. . . . ,产、 龟. . . . .声 艺w。(T,)X j一ExT、 艺w。(T,)戈一Ex、一T、亏、2客“T,艺w。(T,)z j。一艺w。(T: )却)1+月月 亏“刁“之菩W。T! z j一乙“十、:2女(x、一Ex. Tl)一呜华丰华运逻一Z、仁丫一一Ll一G:L艺) ) tl一G又石)厂(2.6 )由(2.6)式,引理3及Slu sky定理,只需证(i)M。:N(o,套),其中(X!一EX: IT、 )12G一X尹一g(T )十所定义;G。G_(Z、)一G(Z; )_一- 犷, - -,丁二,二二下不一Z (l一G(艺:少 )1,氏J一乙1一八(1 1)R。:=1(一z、 G )