五年级数学最大公因数和最小公倍数主讲教师：闫峰现在我们孝顺父母的最好方 法就是好好学习。课前铺垫l几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数 ，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数 的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数 可以记作a、b，当（a、b）1时， a、bab。两个数的最大公约数和 最小公倍数有着下列关系：l最大公约数最小公倍数两数的成积l即（a、b）a、bab课前铺垫l要解答求最小公倍数的问题，关键 要根据题目中的已知条件，对问题 作全面的分析，若要求的数对已知 条件来说，是处于被除数的地位， 通常就是求最小公倍数，解题时要 避免和最大公约数问题混淆。方法l用短除法求两个数的最小公倍数和最 大公因数的方法相近，不要混淆。求 两个数的最大公因数，是把短除式中 的除数相乘；而求两个数的最小公倍 数是把短除式中的除数和最后得的商 连乘。它们的区别可概括为：求公因 ，乘半边；求公倍，乘半圈。基础热身l1、求下面各组数的最大公因数和最小 公倍数35和8334和5815和7213和36l2、求下面各组数的最小公倍数8,9和7215,25和35 4,5和9新知学习l例1 两个自然数的最小公 倍数是180，最大公因数是 12，并且小数不能整除大数 。求这两个数。l解l1801215l当1553时 12560l 12336成立l当15115时 12112 1215180l12 180故不满足已知条件l答：大数是60，小数是36.练习l两个自然数的最大公约 数是6，最小公倍数是72 。已知其中一个自然数是 18，求另一个自然数。 l例2 甲、乙、丙三人是朋友， 他们每隔不同天数到图书馆去 一次，甲3天去一次，乙4天去 一次，丙5天去一次。有一天， 他们三人恰好在图书馆相会。 问至少再过多少天他们三人又 在图书馆相会？分析与解 l从第一次三人在图书馆相会到下一 次再次相会，相隔的天数应该是3 、4、5的最小公倍数。因为3、4 、5的最小公倍数是60，所以至少 再过60天他们三人又在图书馆相会 。l答：至少再过60天他们三人又在 图书馆相会。练习l1路、2路和5路车都从东站发车， 1路车每隔10分钟发一辆，2路车 每隔15分钟发一辆，而5路车每隔 20分钟发一辆。当这三种路线的车 同时发车后，至少要过多少分钟又 有这三种路线的车同时发车？例3 求36963与59570的最大公因 数。 l解法一 用辗转相除法，l 所以（36963,59570 ）37l解法二l上面的方法计算量大，能否简化运算呢？l通过观察容易发现，36963有因数33，而 59570没有质因数3，但59570有质因数2和 5，而36963没有质因数2和5，所以可以从 36963中分解出33和从59570中分解出25 ，再求其余部分的最大公因数。l36963334107l59570255957l所以（36963，59570）37.l由此可见，求最大公因数的几种方 法并非是截然分开的，如能把结合 起来使用将更为有效。练习l求（28583，13301）与 28583，13301l例4 从学校到少年宫的这段公 路上。一共有37根电线杆，原 来每两根电线杆之间相距50米 ，现在要改成每两根之间相距 60米，除两端两根不需移动外 ，中途还有多少根不必移动？分析与解l从学校到少年宫的这段路长50（371） 1800（米）。从路的一端开始，是50和60的公 倍数处的那一根就不必移动。因为50和60的最 小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔 300米就有一根不必移动。18003006，就是6 根不必移动，去掉最后一根，中途共有5根不必 移动。l50、60300l50（371）30015（根）l答：中途还有5根不必移动。练习l插一排红旗共26面。原来每 两面之间的距离是4米，现在 改为5米。如果起点一面不移 动，还可以有几面不移动？家庭作业 l1.两个自然数的最大公因数是6， 最小公倍数是120，已知其中一个 数为24，求另一个数。l2.已知两个自然数的和为165，它 们的最大公因数为15，求这两个数 。家庭作业l3.两个数的差是48，最小公倍 数是60，求这两个数。l4.两个自然数的最大公因数是7 ，最小公倍数是210，已知这两 个数的和为77，求这两个数。家庭作业l5.一行小树苗，从第一棵到最 后一棵的距离是90米。原来每 隔2米植一棵树，由于小树长大 了，必须改为每隔5米植一棵。 如果两端不算，中间有几棵不 必移动？家庭作业l6.甲乙两数的最小公倍数除 以它们的最大公因数，商是 12，如果甲乙两数的差是18 ，则甲数是多少？乙数是多 少？课前铺垫l如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称 a为b的倍数，b为a的约数。l如果一个自然数同时是若干个自然数的约数 ，那么称这个自然数是这若干个自然数的公 因数。在所有公因数中最大的一个公因数， 称为这若干个自然数的最大公因数。自然数 a1，a2，an的最大公因数通常用符号（ a1，a2，an）表示，例如，（8，12） =4，（6，9，15）=3。课前铺垫l如果一个自然数同时是若干个自然数的 倍数，那么称这个自然数是这若干个自 然数的公倍数。在所有公倍数中最小的 一个公倍数，称为这若干个自然数的最 小公倍数。自然数a1，a2，an的最 小公倍数通常用符号a1，a2，an 表示，例如8，12=24，6，9，15=90 。方法l常用的求最大公约数和 最小公倍数的方法：l（1）分解质因数法l（2）短除法。课前提问质数、质因数和互质数 是一回事吗？基础热身l1、a235，b335，a，b的 最大公因数是（ ），最小公倍 数是（ ）。l2、a与b是互质数，a，b的最大公因 数是（ ），最小公倍数是（ ）。新知学习l例1 ：用60元钱可以买一级茶叶144 克，或买二级茶叶180克，或买三级 茶叶240克。现将这三种茶叶分别按 整克数装袋，要求每袋的价格都相 等，那么每袋的价格最低是多少元 钱？l分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级 茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋 的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二 级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同 ，即分装的袋数应是144，180，240的公因数 。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋 数应尽量多，应是144，180，240的最大公约 数。用短除法求最大公因数2 2 3l所以（144，180，240） =223=12，即每60元的茶叶分 装成12袋，每袋的价格最低是 6012=5（元）。练习l1.幼儿园的大班有36个小朋友， 中班有48个小朋友，小班有54个 小朋友。按班分组，三个班的各 组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友。练习l2.有三根钢管，分别长200厘米 、240厘米、360厘米。现要把这 三根钢管截成尽可能长而且相等 的小段，一共能截成多少段？例2 用自然数a去除498，450，414，得 到相同的余数，a最大是多少？l分析与解：因为498，450，414除 以a所得的余数相同，所以它们两两 之差的公因数应能被a整除。l 498-450=48，450-414=36， 498-414=84。l所求数是（48，36，84）=12。练习l有一堆桔子，按每4个一堆分少1 个，按每5个一堆分也少1个，按 每6个一堆分还是少1个。这堆桔 子至少有多少个？练习l一块砖底面长22厘米,宽是10 厘米,要铺成一个正方形地面( 不要折断,只能铺整砖)至少要 多少块砖?例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走 一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。 三人同时从起点出发，最少需多长时间才 能再次在起点相会？l分析与解：甲、乙、丙走一圈分别 需60秒、75秒和90秒，因为要在起 点相会，即三人都要走整圈数，所 以需要的时间应是60，75，90的公 倍数。所求时间为60，75， 90=900（秒）=15（分）。练习l爷爷对小明说：“我现在的年龄是你 的7倍，过几年是你的6倍，再过若 干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、 2倍。”你知道爷爷和小明现在的年 龄吗？家庭作业l2.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出 发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的 周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长 72厘米，由于两个人的脚印有重合，所 以雪地上只留下60个脚印。问：这个花 圃的周长是多少米？家庭作业l3.某公共汽车站有三条线路的公共汽 车。第一条线路每隔5分钟发车一次 ，第二、三条线路每隔6分钟和8分 钟发车一次。9点时三条线路同时发 车，下一次同时发车是什么时间？家庭作业l4.四个连续奇数的最小公倍 数是6435，求这四个数。