分类讨论思想方法海安县实验中学高三数学备课组高考复习专题二分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况 加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论 思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练 人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。一、在什么情况下要进行分类讨论1数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义 或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论。2研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的 “量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论。3在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定 或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各 种情况分别进行讨论。 4含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基 本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的 划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合 加法原理或乘法原理完成解答。5树立划分意识，训练思维的严谨性，保证解题的正确 与完整。二、分类讨论的步骤、原则和方法1分类评论的一般步骤是：明确讨论对象，确定对象的全体确定分类标准，正确进行分类 逐步进行讨论，获取阶段性结果归纳小结，综合得出结论。2逻辑划分应遵循的原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、 分层次，不越级讨论。3多层次分类及“二分法”处理复杂问题的分类方法。4分类讨论后如何归纳结论。（1）统一式。针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题 有不同的结论，归纳结论时应采用分列式。（2）分列式。针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均 是 总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。三、灵活运用逻辑划分的思想方法1通过“补集”间接求解。2有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。 、再现性题组：1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR， 若AB，那么a的范围是_。A.0a1；B.a1；C.a0且a1，p ，q ，则p、q的大小关系是_。A.pq；B.pq；D.当a1时，pq；当00且a1，比较| |与| |的大小。 【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。 【解】01当00;当a1时，| | |由、可知， 例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，AB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：CAB且C中含有3个元素；CA。【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类： 属于A元素；不属于A而属于B的元素。并由含A中 元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】 1084【另解】（排除法）： 例3.设函数f(x)ax2x2，对于满足10，求实数a的取值范围。【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题， 先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分 类讨论。（也属数形结合法）【解】当a0时，f(x)a（x ）2 或或a1或 ； 当a 。 例4.解不等式 0 (a为常数，a )【分析】含参不等式，参数a决定了2a1的符号和两根4a、6a的大小，故对a0、a0、 0时，a ；4a 0。所以分以下四种情况讨论：当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x 6a； 当a0时， 0，解得：x0； 当 0，解得:x4a；当a 时，(x4a)(x6a)0)， 2ya 解得： y1 （0a1）由上可得，z(1 )或(1 ) 【注】本题用标准解法（设zxy再代入原式得到一个 方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分 两类讨论则简化了数学问题。（简化型）【另解】设zxy，代入得当y0时，例6.在xoy平面上给定曲线y2x，设点A(a,0)，aR，曲线上 的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）【分析】求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。【解】设M(x,y)为曲线y2x上任意一点，则由于 2x限定x0，所以分以下情况讨论： 当a10时，xa1取最小值，即 当a1log (xa)(a0且a1)11.设首项为1，公比为q(q0)的等比数列的前n项和为S，又设 ，求 T 。12.若复数z、z 、z 在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|2，求z。13.有卡片9张，将0、1、2、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。14.函数f(x)(|m|1) x 2(m1)x1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。