20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科理科数学数学试题（江西卷）试题（江西卷）第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每个小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。1.已知（x+i） （1-i）=y，则实数 x，y 分别为（）A.x=-1，y=1B. x=-1，y=2C. x=1，y=1D. x=1，y=2 【答案】 D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得2()(1)xix iy+=，没有虚部，x=1,y=2.2.若集合A=|1x xxR，2B=|y yxxR=，则AB=（）A.| 11xx B.|0x xC.|01xxD. 【答案】 C 【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B； | 11Axx= ， |0By y=,解得AB=x|01xI。在应试中可采用特值检验完成。3.不等式22xx xx 的解集是（）A.(0 2)，B.(0)，C.(2)+，D.(0)+（- ，0）， 【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.20x x2pD。以上三种情况都有可能 【答案】B 【解析】 考查不放回的抽球、 重点考查二项分布的概率。 本题是北师大版新课标的课堂作业， 作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为 1 10，总概率为0010 101(0.1) (0.9)C；同理，方法二：每箱的选中的概率为1 5，总事件的概率为005 5141( ) ( )55C，作差得1pOBOC,分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S，2S，3S，则1S，2S，3S的大小关系为。【答案】321SSS。（1）当 a=1 时，求( )fx的单调区间。（2）若( )f x在(01 ，上的最大值为1 2，求 a 的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解：对函数求导得：11( )2fxaxx=+，定义域为（0，2）（1）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当 a=1 时，令2112( )0+1=0022xfxxxxx+=得（）当(0,2),( )0,xfx为增区间；当( 2 2),( )0,xfx0， 为单调递增区间。最大值在右端点取到。max1(1)2ffa=。20. （本小题满分 12 分）如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面BCD，AB平面 BCD，2 3AB=。（1）求点 A 到平面 MBC 的距离；1346P1 31 61 61 3（2）求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面 角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能 力和推理能力解法一： （1）取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD，所以MOAB， A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=3，MOAB，MO/面 ABC，M、O 到平面 ABC 的距离相等，作 OHBC 于 H，连 MH，则 MHBC，求得：OH=OCsin600=3 2,MH=15 2,利 用 体 积 相 等 得 ：2 15 5A MBCMABCVVd=。（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BFEC于F，连AF，则AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为BCE=120，所以BCF=60.sin603BFBC=o，tan2AB BF=，2 5sin5=所以，所求二面角的正弦值是2 5 5.【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊 位置的元素解决位置的元素解决解法二： 取CD中点O， 连OB，OM， 则OBCD，OMCD， 又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0） ，C（1，0，0），M（0，0，3） ，B（0，-3，0） ，A（0，-3，23） ，（1）设( , , )nx y z=r 是平面 MBC 的法向量，则BC=(1, 3,0)uuu r ，(0, 3, 3)BM=uuuu r ， 由nBCruuu r 得30xy+=； 由nBMruuuu r 得yxMDCBOAz330yz+=；取( 3, 1,1),(0,0,2 3)nBA=ruu u r ，则距离2 15 5BA n d n =uu u r rr（2）( 1,0, 3)CM= uuuu r ，( 1,3,2 3)CA= uu u r .设平面ACM的法向量为1( , , )nx y z=ur ，由11nCMnCAuruuuu ruruuu r得3032 30xzxyz += +=.解得3xz=，yz=， 取1( 3,1,1)n=ur . 又 平 面BCD的 法 向 量 为(0,0,1)n=r ， 则1 111cos,5n nn n nn ，抛物线22 2:Cxbyb+=。（1）若2C经过1C的两个焦点，求1C的离心率；（2）设 A（0，b） ，53 34Q，,又 M、N 为1C与2C不在 y 轴上的两个交点，若AMN的垂心为3 4Bb0，且QMN 的重心在2C上，求椭圆1C和抛物线2C的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：22cb=，由2 2222 2122,22cabccea=+=有。(2) 由 题 设 可 知M 、 N关 于y轴 对 称 ， 设11111(,),( ,)(0)Mx yN x yx,由AMN的垂心为 B，有2 11130()()04BM ANxybyb= +=uuuu r uuu r 。由点11( ,)N x y在抛物线上，22 11xbyb+=，解得：11()4byyb= =或舍去故1555,(,),(,)22424bbxb MbNb=，得QMN重心坐标( 3, )4b.由重心在抛物线上得：2 23,=24bbb+=所以，11(5,),( 5,)22MN， 又因为 M、N 在椭圆上得：216 3a=，椭圆方程为2216314xy+=，抛物线方程为224xy+=。22. （本小题满分 14 分）证明以下命题：（1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得222abc， ，成等差数列。（2）存在无穷多个互不相似的三角形n，其边长nnnabc， ，为正整数且222 nnnabc，成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。（1）考虑到结构要证2222acb+=， ；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值2221 ,5 ,7满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，对一切正整数 a 均能成立。结合第一问的特征， 将等差数列分解， 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当222 nnnabc， ，成等差数列，则2222 nnnnbacb=，分解得：()()()()nnnnnnnnbabacbcb+=+选取关于 n 的一个多项式，24 (1)n n做两种途径的分解2224 (1)(22)(22 )(22 )(22)n nnnnnnn=+=+24 (1)n n对比目标式，构造22221 1(4) 21nnnann bnn cnn= =+ =+，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。任 取 正 整 数m ， n ， 若 m，n相 似 ： 则 三 边 对 应 成 比 例22222221121 21121mmmmm nnnnn+=+，由比例的性质得：11 11mmmnnn+=+，与约定不同的值矛盾，故互不相似。