XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 1高级宏观经济学笔记 高级宏观经济学笔记 (v1.0) (v1.0) 徐 高 1 2003 年 11 月 1 Xu_gao2000yahoo.com.cn XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 2第一部分第一部分 经济增长经济增长 1Solow 增长模型增长模型 ()()(),()(tLtAtKFtY= (1.1) 此式可写为：)(kfy = 2 )()(tnLtL=&, )()(tgAtA=&, )()()(tKtsYtK=&(1.2) 则 () ()()()(tkgntksftk+=&(1.3) 实际投资sf(k)持平投资(n+g+)kk*每有 效劳 力的 投资k图 1.1 Solow 增长模型 黄金率：黄金率： ()*)(kgnkfc+= (1.4) ()()sgnskgngnskfsc +=),(),(* * 黄金水平的资本存量* GRk应使 ()+=gngnskfGR),(*(1.5) 数量分析之长期的影响：数量分析之长期的影响： ()(),(),(*gnskgngnsksf+= ()skgnkfskkf s+=+* * *)()( 2其中：ALKk = , ALYy = , ()1 ,)(KFkf=。)(kf满足稻田（Inada）条件： =)(lim0kfk及0)(lim=kfkXGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 3 ()()(*kf sgnkf sk += (1.6) ()()()()(* *kf sgnkfkf skkfsy += (1.7) 又 )()()(*kfkfkkK= 为在*kk =时的资本产出弹性， 在*kk =时 ()*)(kgnksf+= 故()(1)( )()(1)()( )()()( )(*kk kfkfkkfkfk kf sgnkfkf kfs sy ysKK =+=(1.8) 数量分析之收敛速度：数量分析之收敛速度： 资本存量的增长速度是资本存量的函数，写为)(kkk&= 将其在*k处展开成一阶泰勒级数为()* *)(kkkkkkkk =&(1.9) 令( )*kkkkk=& 则 ( )( )*ktktk=&(1.10) ( )( )*0kkektkt+()()() )()()()(* * *kfkfkgngngnkf skkkkk+=+=&()+=gnkK)(1*(1.11) 由上二式可以估算收敛的速度。 增长计量（增长计量（Growth Accounting） ：） ： )()()()()()()()()()(tAtAtYtLtLtYtKtKtYtY& += (1.12) )()( )()( )()( )()( )()( )()( )()( )()( )()( )()( tAtA tAtY tYtA tLtL tLtY tYtL tKtK tKtY tYtK tYtY&+= )()()()()()()(tRtLtLttKtKtLK+& (1.13) XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 4)()()( )()()()()( )()(tRtLtL tKtKttLtL tYtYK+ =& 3 (1.14) 运用上式可以将每人的增长分解为资本增长的贡献和“Solow 剩余” 。 2Ramsey-Cass-koopmans 模型模型 2.1 假设假设 厂商厂商：有大量同样的厂商，每一厂商的生产函数均为 Y=F(K,AL)。生产函数的设定与 Solow 模型中相同。见式(2.2)(2.3)及注释 1，但资本折旧为零。 家庭家庭：家庭的效用函数为 dtHtLtCueU tt)()( 0=(2.1) =1)()(1tCtCu 4，0，()01gn (2.2) )(tC是每人的消费，)(tL是经济体中的总人口，H 是经济中的家庭数，为贴现率。 2.2 厂商与家庭的行为厂商与家庭的行为 厂商：厂商：真实利息率为 )(),()(tkfKALKFtr= (2.3) 真实工资率为 )()()()(),()(tkftktkftALALKFtW= (2.4) 每有效劳力(effective labor)的工资为 )()()()()()(tkftktkftAtWtw= (2.5) 家庭的预算约束：家庭的预算约束： =+ 0)(0)()()()0()()( ttRttRdtHtLtWeHKdtHtLtCe (2.6) 其中=tdrtR 0)()( 在时刻 s 家庭的资本拥有量为 =+= 0)()()()()()()0()(ttRsRsRdtHtLtCtWeHKeHsK(2.7) 则家庭的预算约束又可写为 0)(lim)( HsKesR s(2.8) 家庭的效用最大化：家庭的效用最大化： 3 这里的推导用到了1)()(=+ttKL 4 这种效用函数被称为 Constant-relative-risk-aversion（或 CRRA）效用函数 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 5设)(tc为每有效劳力的消费，则每人的消费)()()(tctAtC=，则 () = 1)()0(1)()0( 1)()( 1)(1 111111tceAtceAtctAtCgtgt(2.9) 将上式带入效用函数(2.1)得 ()= = = 01 11011)()0()0()( 1)(tntgttttdttceeeHLAdtHtLtCeU = = 011)(ttdttce (2.10) 其中HLAB)0()0(1， ()gn1 将(2.5)式除以HLA)0()0(可得新的预算约束为 ()()=+=+ 0)(0)()() 0 ()( ttgntRttgntRdtetwekdtetce (2.11) 家庭的行为：家庭的行为： 家庭选择)(tc的路径以最大化在(2.11)约束下的效用(2.10)。 建立 Lagrangian 函数如下求解最大化问题 = = 011)(ttdttceB L ()() +=+=+0)(0)()()()0( ttgntRttgntRdtetcedtetwek (2.12) 由一阶条件可得5 ()tgntRteetcBetcL+=)()(0)(2.13) 对上式(2.13)取对数得 ()()tgndrtgntRtctBt+=+=0)(ln)(ln)(lnln (2.14) 将上式(2.14)左右两边对 t 求导得 ()gntrtctc+=)()()(& (2.15) 即 gtrgntr tctc=)()( )()(&(2.16) 5 这里采用的方法，即不考虑积分符号，有些不正规。正规的做法应采用变分法，但在这里变分法实际上简化成了我们这里使用的方法。 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 62.3 经济体的动态经济体的动态 c 的变化： c 的变化： 由于所有的家庭都是一样的，故式(2.16)实际上显示了整个经济体的消费的变化。 将利息的表达式(2.3)带入(2.16)得 gtkf tctc=)( )()(&(2.17) k 的变化： k 的变化： k 的变化应为实际投资减去持平投资(n+g)k ()()()()(tkgntctkftk+=&(2.18) dc/dt=0dk/dt=0Ekck(0)k*E1E2saddle pathk*1贴现率下降政府购买永久增加图 2.1 k、c 的变化，鞍线及贴现率及政府购买的影响 经济的动态：经济的动态： 经济的动态可由图 2.1 显示。 令0=c &及0=k&可分别得到图中的竖线和弧线。 图中的红色箭头显示了 c 与 k 的变化趋势。任给经济体的初始资本存量（每有效劳力） ，由图中可见， 消费只能取 k(0)线与鞍线交点处的值， 否则经济体会要么资本趋向于零， 要么消费趋向于零。 最终，经济体会收敛到 E 点的平衡状态上，c 与 k 再也不发生变化，达到平衡增长路径。 2.4 平衡增长路径平衡增长路径 福利福利: 由于 Ramsey-Cass-Koopmans 模型的条件满足第一福利公理，因此，在该模型中的 均衡是帕累拖有效的（Pareto-efficient） 。 平衡增长路径的特征平衡增长路径的特征 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 7当 Ramsey-Cass-Koopmans 模型收敛到 E 点时，模型的表现行为与 Solow 模型一致。每 有效劳力的资本、产出和消费保持不变；总资本、总产出和总消费以(n+g)的速率增长；人 均的资本、产出和消费以 g 的速率增长。 黄金率的资本存量（Golden-Rule Level of Capital） 黄金率的资本存量（Golden-Rule Level of Capital） 在 Ramsey-Cass-Koopmans 模型中，资本存量高于黄金率水平的平衡增长路径是不可能 的。由第一章的式(1.5)可知： gngnkfGR+=+=)(6 (2.19) 将0=c &带入(2.17)式可得 gkf+=)(*(2.20) (2.20)式减去(2.19)式并带入(2.2)式中的假设得 ()01)()(*=gnkfkfGR (2.21) 又)( f是减函数，故 GRkk ， 1 (3.1) 其它假设有),(ttttLAKFY =，()11+=ttAgA，)(ttkfr=，)()(ttttkfkkfw= 每人在其生命的第一阶段挣钱并消费， 在第二阶段消费其前一阶段剩余的财富及财富所 得的利息。 3.2 家庭的行为家庭的行为 出生于 t 的人的第二阶段的消费为 ()()tttttCAwrC11121+=+(3.2) 即 ttt ttwACrC=+ +12 1111(3.3) 家庭要最大化其在(3.3)约束下的效用(3.1) +=+ + +12 111 121 1 11 111 1t ttttttCrCwACC L (3.4) 一阶条件为 = t tCC1 10L(3.5) 112 1211 110+ + +=+=tt trCCL(3.6) 解得 11112 11 +=+tttr CC(3.7) 将上式(3.7)带入约束(3.3)得 () ()()()tt ttwArC +=1 1111111(3.8) 则收入中被存起来的比例为 () ()()()+=111111)(rrs (3.9) XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 9则 ttttwArsC)(111