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第一章 基本概 念1.1 集合 1.2 映射 1.3 数学归纳法 1.4 整数的一些整除性质 1.5 数环和数域课外学习1: 山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村-评析数学进程中的三次危机在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术 更为重要。更为重要。 康托尔(康托尔(Cantor,Cantor,集合论的奠基人,集合论的奠基人,1845184519181918)算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库 。 -高斯(高斯(Gauss,1777-1855Gauss,1777-1855)数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。被认为是作为数学家的完全的装备。 -麦斯韦麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)(James Clark Maxwell 1831-1879) 1.1 集合内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 教学目的 掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法重点、难点 集合概念、证明集合相等1.1.1 1.1.1 集合的描述性定义集合的描述性定义表示一定事物的集体,我们把它们称为集合或集,如 “一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫 这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A,B,C,表示集合,用小 写拉丁字母a,b,c,表示元素. 如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作 ;或 者说A包含a,记作Aa 如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作 ;或者说A不包含a,记作例如,设A是一切偶数所成的集合,那么4A,而 . 一个集合可能只含有有限多个元素,这样的集合叫 做有限集合. 如,前十个正整数的集合;一个学校的 全体学生的集合;一本书里面的所有汉字的集合等 等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元 素组成的,就叫做无限集合. 如,全体自然数的集合 ;全体实数的集合;小于的全体有理数的集合等等 都是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为:1.1.2 集合的表示方法枚举法: 例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限 集合 表示成: . 前五个正 整数的集合就可以记作 . 枚举仅用来表示有限集合.拟枚举: 自然数的集合可以记作 , 拟枚举 可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元 素所组成的,那么就用记号来表示. 例如表示一切大于-1且小于1的实数 的所组成的集合. 常用的数集: 全体整数的集合,表示为Z 全体有理数的集合,表示为Q 全体实数的集合,表示为R 全体复数的集合,表示为C1.1.3 集合的包含和相 等 设A,B是两个集合,如果A的每一元素都是B的元素,那 么就说是的子集,记作 (读作属于),或 记作 (读作包含). 根据这个定义,是的 的子集必要且只要对于每一个元素x,如果 ,就有 . 例如,一切整数的集合是一切有理数的集合的子集,而 后者又是一切实数的集合的子集. A是B的子集,记作:如果A不是B的子集,就记作: 或 . 因此,A 不是B的子集,必要且只要A中至少有一个元素不属于B ,即:例如,一节可以用被有整除的整数所成的集合,不是一 切偶数所成的集合的子集,因为3属于前者但不属于后 者. 集合1,2,3不是2,3,4,5的子集. 根据定义,一个集合A总是它自己的子集,即:如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的,就 说A与B相等,记作:A=B. 我们有例如,设A=1,2,B是二次方程 的根 的集合,则A=B. 1.1.4 集合的运算及其性质并运算 设A,B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切 元素所成的集合叫做A与B的并集(简称并),记作 . 如图1所示. AB例如,A=1,2,3,B =1,2,3,4,则 又例如,A是一切有理数的集合,B是一切无理数的集 合,则 是一切实数的集合. 显然, 或根据定义,我们有交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交),记作: ,如图2所示.显然, 例如,A=1,2,3,4,B=2,3,4,5,则我们有两个集合A与B不一定有公共元素,我们就说它们的交 集是空集. 例如,设A是一切有理数的集合,B是一切无理数的集 合,那么 就是空集. 又如方程 的实数根 的集合为空集. 空集是任意集合的子集. 运算性质:交换律 :; 结合律 :; 分配律 :我们选取一个来证明.例1 证明证明 设 ,那么 且 ,于是且至少属于B与C 中的之一. 若 ,那么因为 ,所以, ;同样,若 ,则 . 不 论哪一种情形都有 . 所以反之,若 ,那么 或者 . 但 , ,所以不论哪一种情形都有 ,所以这就证明了上述等式. 两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去, 设 是给定的集合. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并;由 的 一切公共元素所成的集合叫做的 交. 的并和交分别记为:和 . 我们有差运算: 设A,B是两个集合,令 也就是说, 是由一切属于A但不属于B 的元素所组 成的,称为A与B 的差. 注意:并没有要求B是A的子集. 例如,积运算: 设设A,B是两个集合,令称为A与B的笛卡儿积(简称为积). 是一切元素对(a, b )所成的集合,其中第一个 位置的元素a取自A,第二个位置的元素b取自B. 12 映射一、 内容分布1.2.1 映射的概念及例1.2.2 映射的相等及像1.2.3 映射的合成1.2.4 单射、满射、双射 二、 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成,满射、单射、可逆映射 的判断。 三、 重点、难点 映射的合成,满射、单射、可逆映射的判断。1.2.1 映射的概念 及例 定义1 设A,B 是两个非空的集合,A到B 的一个映射 指的是一个对应法则,通过这个法则,对于集合A中的 每一个元素 x,有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它对 应. 用字母f,g,表示映射. 用记号 表示f 是A到 B的一个映射. 如果通过映射f,与A中元素x对应的B中元素是y,那么就写作 这时y 叫做 x 在f 之下的象,记作 . 例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n,令 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射, 例2 令R是一切实数的集合,B是一切非负实数的集合对于每一 ,令 与它对应; 那么 f 是R到B的一个映射. ,例3 设 这是A到B的一个映射. 例4 设A是一切非负被减数的集合,B是一切实数的集 合. 对于每一 ,令 与它对应. f 不是A 到B的映射, 因为当 时, 不能由x唯一确定. 例5 令A=B等于一切正整数的集合. 不是A到B的一个映射,因为 . 例6 设A是任意 一个集合,对于每一 ,令与它对应: 这自然是A到A的一个映射,这个映射称为集合A的恒 等映射. 注意: A与B可以是相同的集合,也可以是不同的集合 对于A的每一个元素x,需要B中一个唯一确定的元素与它对 应. 一般说来,B中的元素不一定都是A中元素的象. A中不相同的元素的象可能相同. 1.2.2 映射的相等及像设 是一个映射. 对于 ,x的象 . 一切 这样的象作成B的一个子集,用 表示:, 叫做A在f之下的象,或者叫做映射f的象. 例7令,. 那么 . 设 , 都是A到B的映射,如果对于每一 ,都有 ,那么就说映射f与g是相等的. 记作1.2.3 映射的合成设 是A到B 的一个映射, 是B 到C 的 一个映射. 那么对于每一个 ,因而是C中的一 个元素. 因此,对于每一 ,就有C 中唯一的确定的 元素 与它对应,这样就得到A到C 的一个映射, 这映射是由 和 所决定的,称为 f 与g 的合成(乘积),记作 . 于是有 对于一切 ,f 与g 的合成可以用下面的图示意:fgABC例8 设那么 例9 设 A=1 ,2,3 那么 设给映射 , , ,有. 但是,一般情况下 , 设A是非空集合 , 称为设A上的 恒等映射。设A,B是两个非空集合,用 和 表示A和B的恒等 映射. 设 是A到B的一个映射. 显然有:, .1.2.4 单射、满射、双射定义2 设f 是A到B的一个映射,如果,那么说称f 是A到B上的一个映射,这里也称f 是一个满映射,简称 满射. 是满射必要且只要对于B中的每一元素y,都 有A中元素x 使得 . 关于映射,只要求对于A中的每一个元素x,有B中的一 个唯一确定的元素y与它对应,但是A中不同的元素可以 有相同的象. 定义3 设 是一个映射,如果对于A中任意两 个元素 和 ,只要 ,就有 ,那么就 称f是A到B的一个单映射,简称单射. 如果既是满射,又是单射,即如果f 满足下面两个条件 , 对于一切,那么就称f 是A 到B 的一个双射. 一个有限集集合的A到自身的双射叫做A的一个置换. 定理1.2.1 令
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