1 自行车轮装饰物的运动轨迹问题 1 为了使平淡的自行车增添一份美感，同时， 也为了增加自行车的安全系数，一些骑自行车的人及自行车厂家在自行车的辐条上安装一款亮丽夺目的饰物。当有这种饰物的自行车在马路上驶过时，这种饰物就像游龙一样，对街边的行人闪过一道波浪形的轨迹。(1)当自行车在平地上运动时，这个轨迹是什么曲线？试画其图形。(2)当自行车在斜坡上运动时，这个轨迹是什么曲线？试画其图形。(3)当自行车在一个抛物线型的拱桥上通过时，这个轨迹是什么曲线？试画其图形。(4)当自行车在一拱一拱的正弦曲线上通过时，这个轨迹是什么曲线？试画其图形。数学模型 假设路面曲线是y = f(x)，自行车在运动过程中，车轮在路面上作无滑动的滚动，与路面只有一个接触点。车轮可当作一个半径为R 的圆，运动时与地面相切。饰物P 离圆心的距离为 r。如 A1 图所示， CP 与圆相交于A，A 是初始接触点。当圆滚过角之后，接触点移到 A处，圆从C 移到 C处，饰物从P 移到 P处。曲线弧元为2222ddd1d1( ) dsxyyxfxx设 A点的坐标为 (x0,y0)，则有弧长关系0 201( ) dx Rfxx(1) 设圆心 C的坐标为 (xC,yC)，C在曲线的法线上，因此联立方程00 01()()()CCyfxxxfx222 00()()CCxxf xyR解得圆心坐标0 02 0()1()CfxxxR fx(2) 02 01() 1()Cyf xR fx(3) 设 P的坐标为 (x,y)，则x = xCrsin( )，y = yC + rcos( ) 其中 是圆心角， 是法线与竖直方向的夹角，也是切线与水平方向的夹角，称为仰角。由(1)式可得圆心角0 2011( ) dx fxxR(4) 根据导数的定义可得仰角A(x0,y0) O RA1图C r C(xC,yC)A P P(x,y)x y 2 = arctanf (x0) (5) 饰物的轨迹方程为0 02 0()sin()sin() 1 ()CfxxxrxRr fx(6a) 02 01cos()()cos() 1()CyyrfxRr fx(6b) 解析 (1) 设y = 0，路面是一条直线，则f (x) = 0， = 0， = x0/R，饰物的轨迹方程为x = x0rsin(x0/R)， y = R rcos(x0/R)(7a) 或x = Rrsin ，y = R rcos(7b) 当 r R时，即：饰物在车轮之外(例如火车车轮边缘的情况)，摆线在 x/R = 2n 附近出现回旋。M1_1_1a 图M1_1_1b图程序 zqy1_1_1bicycle.m % 摆线的轨迹clear % 清除变量r=input( 请输入半径 r/R:); % 键盘输入半径比th=linspace(0,2*2*pi,1000); % 圆心角向量x=th-r*sin(th); % 横坐标向量y=1-r*cos(th); % 纵坐标向量figure % 建立图形窗口plot(0,th(end),0,0) % 画横线hold on% 保持图像plot(x,y) % 画摆线axis equal% 使坐标间隔相等grid on% 加网格3 fs=16; % 字体大小title( 自行车轮饰物的摆线轨迹 , FontSize,fs)% 显示标题xlabel(itx/R, FontSize,fs) %x 标签ylabel(ity/R, FontSize,fs) %y 标签text(0,0,itr/Rrm=,num2str(r),FontSize,fs)% 显示字符串M1_1_1c 图M1_1_2图程序 zqy1_1_2bicycle.m % 摆线的轨迹族clear % 清除变量r=0.5,1,1.5; % 半径比向量th=linspace(0,2*2*pi,1000); % 圆心角向量R,TH=meshgrid(r,th); % 化为矩阵X=TH-R.*sin(TH); % 横坐标向量Y=1-R.*cos(TH); % 纵坐标向量figure % 建立图形窗口plot(X,Y) % 画摆线axis equal% 使坐标间隔相等grid on% 加网格fs=16; % 字体大小title( 自行车轮饰物的摆线族 , FontSize,fs)% 显示标题xlabel(itx/R, FontSize,fs) %x 标签ylabel(ity/R, FontSize,fs) %y 标签legend(repmat(itr/Rrm=,length(r),1),num2str(r)% 显示图例hold on% 保持图像plot(0,th(end),0,0) % 画横线解析 (2) 设 f(x) = kx，路面是一个斜坡，k 是斜坡的斜率，则f (x) = k。设 k = tan ，是斜坡的角度，可得 = arctan(k) = (8) 0 220 00111d1tancosxxkxxRRR(9) 饰物的轨迹方程为x = x0 Rsin rsin( )，y = x0tan + Rcos rcos( ) (10) 4 当 = 0时，斜坡变成平地，由上式可得(7)中两式。算法 (2) 取R为长度单位，则饰物的方程可化为x* = x 0* sinr*sin( )，y* = x 0*tan + cos r*cos( ) (10*) 其中 x0* = x0/R，y0* = y0/R。圆心角可表示为* 0 cosx(9*) x0*是自变量， r*和 是可调节的参数。程序 zqy1_2bicycle.m % 自行车沿着斜坡运动时饰物的轨迹clear % 清除变量r=input( 请输入相对半径r/R:); % 键盘输入相对半径alpha=input( 请输入斜坡的度数alpha:); % 键盘输入角度a=alpha*pi/180; % 化为弧度x0=0:0.001:20; % 自变量向量y0=x0*tan(a); % 坡度的纵坐标th=x0/cos(a); % 圆心角向量x=x0-sin(a)-r*sin(th-a); % 横坐标向量y=y0+cos(a)-r*cos(th-a); % 纵坐标向量figure % 建立图形窗口plot(x0,y0) % 画斜坡hold on% 保持图像plot(x,y) % 画轨迹axis equal% 使坐标间隔相等grid on% 加网格fs=16; % 字体大小title( 自行车轮饰物在斜坡上的轨迹 , FontSize,fs)% 显示标题xlabel(itx/R, FontSize,fs) %x 标签ylabel(ity/R, FontSize,fs) %y 标签txt=itr/Rrm=,num2str(r),italpharm=,num2str(alpha),circ; % 字符串text(0,0,txt,FontSize,fs) % 显示字符串M1_2a图M1_2b 图图示 (2) 如M1_2a图所示，当 0时，自行车上坡。如M1_2b图所示，当 0时，抛物线开口向上。如M1_3b图所示，当 p 0时， 抛物线开口向下。如M1_3c图所示， p越小，在同一高度处，抛物线开口就越小。抛物线在底部的曲率半径最小，但不得小球自行车轮的半径，否则，自行车就无法与抛物线相切。由于f (x) = 1/p，根据曲率半径的公式7 23/ 2(1)yy可得抛物线在底部的半径为p，因此 p/R不得小于 1，如 M1_3d 图所示。解析 (4) 正弦线可设为f(x) = Asinkx(15) 路面是波浪形曲线，A 是正弦线的幅度，k 是系数。幅度和系数决定了正弦线的形状。由于f (x) = kAcoskx，因此仰角为 = arctan(kAcoskx0) (16) 圆心角为0 2011(cos) dx kAkxxR(17) 此积分可求数值解。饰物的轨迹方程为0 02 0cossin() 1(cos)kAkxxxRr kAkx(18a) 02 01sincos() 1(cos)yAkxRr kAkx(18b) 算法 (4) 取R为长度单位，则正弦线可化为y0*= A*sink*x 0*(15*) 其中 A* = A/R，k* = kR。A*是正弦线无量纲的幅度，k*是无量纲的系数。导数可表示为f (x0*)= k*A*cosk*x 0*，因此仰角为 = arctan(k*A*cosk*x0*) (16*) 设 u = x/R，圆心角为* 0 *201(cos) dx k Ak uu(17*) 设被积函数为*2( )1(cos)g xk Ak x取间隔为 x，取上限为x0* = n x，则积分可用求和公式近似表示1()ni ig xx(17*) 饰物的方程可化为* *0 0* 0()sin()()fxxxrg x(18a*) * 0* 01cos()()yyrg x(18b*) 8 x0*是自变量， r*和A*以及 k*是可调节的参数。程序 zqy1_4bicycle.m 如下。% 自行车沿着正弦线运动时饰物的轨迹clear % 清除变量r=input( 请输入饰物相对距离r/R:); % 键盘输入相对半径a=input( 请输入相对幅度A/R: ); % 键盘输入相对幅度k=input( 请输入无量纲系数kR: ); % 键盘输入系数dx=0.02;