1 = = 附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化（08、09、10、11 硕已讲，精细订正版）一、动态最优化在静态最优化问题 中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数)(xyy，最优点x的一阶条件是0)(xy. 在动态最优化问题 中， 我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的 曲线)(tx这个最大化的积分定义为独立变量t、函数)(tx及它的导数dtdx /的函数F下的 面积。简言之，假设时间区域从00t到Tt1，且用x表示dtdx/，我们寻找最大化或最小化T dttxtxtF 0)(),(,（20.1 ）这里假定F对t、)(tx、)(tx是连续的，且具有对x和x的连续偏导数将形如 (20 1) ， 对每一个函数)(tx对应着一个数值的积分称为 “泛函” 一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线” 2 极值可接受的 “候选”极值曲线 是在定义域上连续可微， 且特别地满足一些固定端点条件的函数类)(tx（讲！ ）例 1一家公司当希望获得从时间0t到Tt的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p， 而且也依赖于价格关于时间的变化率如dtdp /。假设成本是固定的， 并且每个p和dtdp/是时间的函数，p代表dtdp/，公司的目标可以作如下数学表示TdttptptMax 0)(),(,另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平)(tx和生产的变化率xdtdx/假设这个公司希望最小化成本，且x和x是时间t的函数，公司的目标可以写成10)(),(,minttdttxtxtC满足1100)(,)(xtxxtx且这些初始和终值约束称为端点条件 3 例 2Ramsey经济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式)(cUU出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey问题” 找出一条消费路径)(tc，使家庭终生效用函数)(cUU最大化 ：0)()(1)(max0)()( 010dtetctkdttceBtRtgntc二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式）定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）：对于一个 泛函10)(),(,ttdttxtxtF连接点),(00xt和),(11xt的曲线)(txx是一个 极值曲线 ( 即最优化 )的必要条件 是xFdtdxF(202a) 称之为 欧拉方程 尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函4 数(20 2a)的欧拉方程 表示为),(),(xxtF dtdxxtFxx (202b) 然后，用 链式法则 求xF关于t的导数，并且省略自变“量” ，得)()(xFxFFFxxxxtxx(202c) 这里，22/ dtxdx下面给出 欧拉方程 是极值曲线的必要条件 的证明。图 20-2 证明： （重点！ 09、10、11 硕，已讲 ）设)(txx是图 20-2 中连接点),(00xt和),(11xt的曲线，并且它使下面泛函取得最大值)(tx1tmhxX0txt5 10)(),(,ttdttxtxtF (203) 即)(txx为极值曲线 ，欧拉方程 (202a)是)(txx为极值曲线 的一个必要条件 取)()(?tmhtxX是)(txx的相邻曲线，这里m是任意常数 ，)(th是一个 任意函数 为了使曲线X?也通过点),(00xt和),(11xt，则X?也满足端点条件：0)(0)(10thth (204) 一 旦 取 定)(tx和)(th之 后 ， 因)(tx和)(th固 定 ， 则 积 分 值10)(),(,ttdttxtxtF仅为m的函数，不妨改写成10)()(,)()(,)(ttdtthmtxtmhtxtFmg (205) 由于)(tx使(20 3) 中的泛函10)(),(,ttdttxtxtF实现最优化，所以(20 5) 中 的 函 数)(mg仅 当0m时 （ 因 为0m时 的10)()(,)()(,)(ttdtthmtxtmhtxtFmg才能还原为10)(),(,ttdttxtxtF） 实现最优化，即有00mdmdg(206) 对(20 5) 即10)()(,)()(,)(ttdtthmtxtmhtxtFmg用链式法则 求mF /由于F是x和x的函数，依次又是m的函数，代入 (207)得dtmhmxxFmmhxxFdmdgtt10)()(6 由于h mmhx)(且h mhmx)(，用条件 (206) 即00mdmdg，有0)()(100dtthxFthxFdmdgttm(208) 方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分 ，（注：分部积分公式即)(),(tvvtuuudvvuvdubtatbtatba令)(,thuxFFvx所以，dtxF dtddtdtdFdtdtdvdvx)(dtthdtdtdudu)(）1010100)()()(0ttttttmdtthxFdtdthxFdtthxFdmdg由(204)知，0)()(10thth，从而0)()(10thth，于是上式中第二项去掉，合并其余两项，有100)(0ttmdtthxF dtd xF dmdg（209) 由于)(th是不必为零的 任意函数 ，因此推出，对于 极值曲线的必要条件为方括号中式子为零，即0xFdtdxF或 xFdtdxF这就是 欧拉方程 定理证毕。7 三、求候选极值曲线在动态最优化问题中， 求满足固定端点条件的、 使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成：1、设被积函数为F，即),(xxtFF2、求F对x和x的偏导数，记xxFxFFxF/,/3、代入 欧拉方程 (202a)或(20 2b) 4、求xF关于t的导数由于xF是t，xx和的函数，且xx和又是t的函数，因此，需要用 链式法则 5、如果没有导数项 (xx和) ，立即解出x；如果有xx和项，直到作出所有导数的积分，然后求出x。在例 3，例 4 中，给出了这个方法的例子例 3设Ttdtx tex032)46(，试用(20. 4)中所列程序及 (202a)的记号，最优化这个泛函如下：1、设xtexFt46328 2、则txFxexFt4,1233、代入 欧拉方程 (202a)，有)4(123tdtdxet4、但4/ )4(dttd，代入上式，4123txe5、由于没有x和x项，所以可直接求出x，将这个解表成)(tx，tetx331)(这个解满足动态最优化的必要条件 ，只能说明它是一个候选极值曲线所以有必要使用 充分条件检验。 见下一节例 4泛函202)5124(dttxtx满足4)2(1)0(xx求上述泛函的 候选极值曲线 ，现在用 (202b)的记号1、设txtxF512422、则xFtFxx812且3、代入 欧拉方程 (202b)，xdtdt8124、记dtdxx，且xdtxddtdxdtd22 ，xt8129 5、由于有x，对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一个常数xctdtxtdt8681212再积分，xctctdtxdtct828)6(21312解出x，8841)(212ctcttx代入边值条件 ，8 8)0(22ccx441)2( 81)2(41)2(112ccx代入式中，得解：12141)(3tttx四、变分法的充分条件假设对于极值曲线，必要条件是满足的1、如果泛函)(),(,txtxtF在xtx ),(是联合凹 的，则对于最大值情况，必要条件是充分的。2、如果泛函)(),(,txtxtF在xtx ),(是联合凸 的，则对于最小值情况，必10 要条件是充分的联合凹性和联合凸性， 由泛函的二阶导数的二次型的符号很容易确定给定判别式：xxxxxxxx FFFFD1、(a) 如果，01xxFD，且02DD，D是负定的，F是严格凹 的，得到一个 全局最大 的极值曲线(b) 如果，01xxFD，且02DD，检验变量所有可能的次序，D是半负定的，F是简单凹 的，则得到 局部最大 的极值曲线2、(a) 如果01xxFD，且02DD，D是正定的，F是严格凸的，从而得到一个 全局最小 的极值曲线(b) 如果01xxFD，且02DD，检验变量所有可能的次序，D是半正定 的，F是简单凸 的，则得到 局部最小 的极值曲线例 5下面是例3 的充分条件的例子，这里泛函是x texFt4632，t xxeF312，tFx40012000121 231 13 1DeDeFFFFDttxxxxxxxx11 1D不符合对于全局最优的正定准则，但可以证明，如果这个判别式对于变量的倒序也是半正定时，则对于局部最小，它是半正定的00120002 22 132DDeFFFFDt xxxxxxxx对每个变量的两种可能的顺序，DDD,0,021是半正定的，泛函达到局部最小的，是充分条件用完全的相似的方式，可检验出例4 的充分条件五、泛函约束的动态优化（已讲）求一个极值曲线使最大或最小化一个给定积分TdtxtxtF 0),(, (2010) 满足积分约束kdtxtxtGT0),(, (2011) 这里，k是一个常数，利用拉格朗日乘子方法，将约束(2011) 乘以，然后与目标函数相加，形成拉格朗日函数：TdtGF 0)(2012) 12 对于动态最优化， 下面欧拉方程是有极值曲线的必要条件，而非充分条件GFH xHdtdxH这里 (2013) 例 6泛函约束优化通常用于确定一条曲线，使之满足给定的周长且所围的面积最大 这样的问题称为 等周问题 ， 且通常将泛函记为)(ty，而不是)(tx 调整这个记号，求包含最大区域A的给定长度k的曲线Y，这里dxyyxA)(21曲线的长度是kdxyxx1021像 206 节解释的，建立 拉格朗日函数dxyyyxxx1021)(21(2014) 设H等于(2014)的被积函数，则 欧拉方程 是yH dxd yH从(2014)，212121yyxyHyH且13 代入欧拉方程 ，222111212112121yydxdyydxdyyxdxd两边直接积分，然后整理，)( 112cx yy方程的两边平方，解出y，2 122 12 122 122 122 12222 122)()()()()()()1()(cxcxycxcxycxycxyycxy两边积分得2 12 2)(cxcy两边平方，然后整理，可以表示成一个圆22 22 1)()(cycx这里，1c，2c和由0x，1x和k决定。